Zer da Fourier-en transformatua?
Frantzia iraultzailearen kaos betean, gizon baten matematikarekiko obsesioak gaur egun matematikaren eta fisikaren zati handi baten oinarri bihurtu den kalkulu bat egin zuen. Kalkulu horri Fourier-en transformatua esaten zaio, eta edozein funtzio bere osagaietan deskonposatzen du.
Musika-konposizio bat entzuten dugun bakoitzean, gure belarriek kalkulu bat egiten dute. Airea bete egiten da txirularen trillo altuarekin, biolinaren tonu ertainekin eta kontrabaxuaren murmurio baxuarekin, maiztasun desberdinetako presio-uhinak sortzen baitituzte. Soinu-uhin hori entzumen kanaletik behera kiribil koklearaino doa, eta orduan luzera desberdinetako zilioek tonu desberdinekin durundatzen dute. Horri esker, seinale nahaspilatsua oinarrizko soinu konpartimentuetan banatzen da.
Matematikariek ez zuten XIX. mendera arte kalkulu hori menderatu.
XIX. mendearen hasieran, Jean-Baptiste Joseph Fourier matematikari frantsesak deskubritu egin zuen edozein funtzio oinarrizko uhin edo maiztasunetan deskonposatzeko modu bat. Maiztasun horiek berriro ere gehitu egiten baditugu, hasierako funtzioa berreskuratu dezakegu. Teknika hori gaur egun Fourier-en transformatua esaten zaio, eta horri esker, Frantziako Iraultza biziki defendatzen zuen matematikari horrek matematikaren arloa erabat aldatu zuen.
Fourier-en transformatutik matematiken arlo berri bat sortu zen: analisi harmonikoa. Arlo horrek funtzioen osagaiak aztertzen ditu. Handik gutxira, matematikariek lotura sakonak deskubritu zituzten analisi harmonikoaren eta matematikaren eta fisikaren beste arlo batzuen artean, zenbakien teoriatik hasi eta ekuazio diferentzialetaraino edo mekanika kuantikoraino. Halaber, Fourier-en transformatua gure ordenagailuetan ere badago, eta horri esker artxiboak konprimatu, audio seinaleak hobetu eta askoz gehiago egin dezakegu.
“Zaila da Fourier-en transformatuak matematiken arloan izan duen eragina puztea”, jakinarazi du Leslie Greengard (New Yorkeko Unibertsitatea eta Flatiron Institute zentroa). “Matematikaren, fisikaren, kimikaren arlo ia guztiei eta beste askori eragiten die”.
Grinazko sugarrak
Fourier 1768an jaio zen, iraultzaren aurreko Frantzia kaosean murgilduta zegoela. Umezurtz gelditu zen 10 urte zituela, eta bere jaioterriko komentu batean hezi zuten. Hurrengo hamarkadan zalantza ugari izan zituen: erlijioaren arloan edo matematiken munduan murgildu. Azkenean erlijio prestakuntza eten egin zuen eta irakasle lanetan hasi zen. Halaber, Frantziako iraultzaren aldeko mugimenduetan aktiboki parte hartu zuen. Hala ere, Izu Garaian, 1794an, 26 urte zituela, atxilotu eta espetxeratu zuten, iraultzaren aurkako ideiak hedatzeagatik. Gillotinara eraman behar zuten.
Izu Garaia matematikaria erail aurretik amaitu zen. Horren ondorioz, 1795ean matematikak irakasten hasi zen berriro ere. Urte batzuk beranduago, Napoleon Bonaparteren kontseilari zientifiko izendatu zuten, eta bere armadarekin bat egin zuen Egipto inbaditzeko. Egipton antzinako historia aztertzen zuen bitartean abiarazi zuen bere transformada aurkitzera eraman zuen ikerketa lana; zehazki, beroaren eroapena ulertu nahi zuen. Frantziara 1801ean bueltatu zenean —britaniarrak armada frantsesa atzera egitera behartu eta Rosetta harri hartu aurretik—, Fourierrek ezin zuen ideia hori burutik kendu.
Metalezko barra baten muturretako bat berotzen badugu, barra osoak tenperatura bera izan arte hedatuko da. Fourierren ustez, beroa barra osoan zehar hedatzea uhin sinpleen metaketa izan zitekeen. Metala hozten doan heinean, uhin horiek energia galdu, leundu, eta azkenean desagertu egiten dira. Oszilazio azkarragoa duten uhinen kasuan —energia gehiagokoak—, lehenago gelditzen dira, eta atzetik doaz maiztasun txikiagoko uhinak. Apurka-apurka moteltzen den sinfonia baten antzera funtzionatzen du, piccoloetatik hasi eta tubetarako.
Proposamena ezagutza errotik aldatzea zekarren. Fourierrek 1807an Parisko Institutuan aurkeztu zuenean, Joseph-Louis Lagrange matematikari ospetsuak erantzun zion hori “ia ezinezkoa zela”.
Lankideak gehien kezkatzen zituena kasu bereziak ziren, izan ere, kasu horietan beroaren banaketa bat-batean irregularra izan zitekeelako; adibidez, erdia hotza eta erdia beroa dagoen barra bat. Fourierrek defendatzen zuen tenperaturaren etenaldi hori ere matematikaren bitartez deskriba zitekeela: nahikoa litzateke infinitu kurba sinple batzea zenbaki finitu baten ordez. Hala ere, garaiko matematikari gehienek uste zuten angelu leun bakar batek ere ezin zuela bat-bateko angelurik eragin.
Gaur badakigu Fourierrek arrazoia zuela.
“Edozer gauza irudikatu daiteke oszilazio oso-oso sinpleen batura gisa”, azaldu du Charles Feffermanek, Princetoneko Unibertsitateko matematikariak. “Jakin badakigu, norbaitek behar adina diapasoi baditu eta behar bezala jotzen baditu, Beethovenen bederatzigarren sinfonia jo dezakeela”. Prozesu horrek soilik huts egiten du bereziki bereziak diren funtzioen kasuan, hala nola grafikoa handitu arren neurriz kanpo oszilatzen duten funtzioen kasuan.
Belarri trebea
Fourier-en transformatu bat egitea lurrina usaintzea eta haren osagaiak bereiztearen antzekoa izan daiteke, edo jazz-akorde konplexu bat entzun eta hura osatzen duten notak zein diren jakitearen antzekoa.
Matematikaren esparruan, berriz, Fourier-en transformatua funtzio bat da. Abiapuntu gisa zehaztuta dagoen funtzio bat hartzen du —oso konplikatua dirudiena— eta emaitza gisa maiztasun multzo bat ematen du. Uhinak maiztasun horri dagozkion sinu eta kosinuarekin idatzi eta gehiketa egiten badugu, jatorrizko funtzioa eskura dezakegu.
Horretarako, Fourier-en transformatuak balizko maiztasun guztiak aztertzen ditu, eta bakoitzak jatorrizko funtzioari zer ekarpen egiten dion zehazten du. Azter dezagun eredu erraz bat.
Har dezagun honako funtzio hau:
Fourier-en transformadak egiaztatu egiten du maiztasun bakoitzak zer ekarpen egiten dion jatorrizko funtzioari. Horretarako, uhinak biderkatu egiten ditu. Jatorrizko uhin bakoitza 3 maiztasuneko senu uhin batekin biderkatzen dugun bakoitzean hau gertatzen da:
Gailurrak oso handiak dira, eta, hortaz, 3 maiztasuna jatorrizko funtzioan dago. Gailur horien batezbesteko tamainak ematen digu ekarpenaren berri.
Orain egin dezagun proba 5 maiztasunarekin. Jatorrizko uhin bakoitza 5 maiztasuneko senu uhin batekin biderkatzen dugun bakoitzean hau gertatzen da:
Kasu honetan gailurrak handiak dira, baina baita haran handiak ere; beraz, grafikoa zero inguruan dago. Horrek esan nahi du 5 maiztasuna ez dagoela jatorrizko funtzioan.
Fourier-en transformadak prozedura hori errepikatu egiten du maiztasun guztiekin; hots, jatorrizko funtzioa uhin senu eta kosenuekin biderkatzen du. (Praktikan analisi hori maila konplexuan egiten da, zenbaki errealak eta asmatutakoak erabiliz).
Hortaz, Fourier-en transformadak funtzio konplexu bat zenbaki gutxi batzuetan deskonposatu dezake. Eta horregatik, hain zuzen ere, ezinbesteko tresna da matematikarientzako: problema bat ebaztezina dirudienetan, eraldatzen saia daitezke. Maiztasun bihurtzen denean, maiz, nabarmen sinplifikatzen da.
Jatorrizko funtzioak bat-batek ertza badu, seinale digitaletan agertu ohi den uhin karratuekin gertatu bezala, Fourier-en transformadak maiztasunen multzo infinitua sortuko du, eta kopuru horiek gehituz gero, ahalik eta gehien hurbilduko dira ertz horretara. Multzo infinitu horri Fourier-en seriea esaten zaio —hasiera batean matematikariak planteamendu hori onartzeko prest ez bazeuden ere—, eta gaur ezinbesteko tresna da funtzioak aztertzeko.
Bis
Fourier-en transformada dimentsio gehiagoko objektuei ere aplikatzen zaie, hala nola irudiei. Pentsa dezakegu grisen eskalako irudi bat bi dimentsioko funtzio bat dela, pixel bakoitzaren distira adierazten duena. Fourier-en transformadak funtzio hori bi dimentsioko funtzioen multzo batean deskonposatzen du. Maiztasun horiek definitzen dituzten senu eta kosenu uhinak norabide desberdinetako marra patroiak sortzen dituzte. Patroi horiek —eta xake taularen antza duten konbinazio sinpleak— gehitu egin daitezke edozein irudi berrezartzeko.
Adibidez, 8 × 8 tamaina duen edozein irudi oinarrizko 64 bloke hauetatik abiatuta eratu daiteke. Beraz, konprimatzeko algoritmo batek maiztasun handiko informazioa, xehetasun txikiei dagokiena, ezaba dezake, giza begiarentzat irudiaren itxura gehiegi aldatu gabe. Horri esker JPEG formatuak irudi konplexuak konprimatu ditzake datu txikiagoetan.
1960ko hamarkadan, James Cooley eta John Tukey matematikariek Fourier-en transformada bat azkarrago egitea ahalbidetzen zuen algoritmo bat sortu zuten: Fourier-en transformada azkarra (FFT, ingelesezko siglen arabera). Geroztik, Fourier-en transformada prozesatu beharreko seinaleak dauden ia kasu guztietan aplikatzen da. “Gau egun eguneroko bizitzaren parte da”, adierazi du Greengard-ek.
Itsasaldiak ikertzeko, uhin grabitazionalak detektatzeko eta radarra eta erresonantzia magnetikoa egiteko erabili da. Audio fitxategi aseetan zarata murrizteko eta era guztietako datuak konprimatzeko eta biltegiratzeko aukera ematen digu. Mekanika kuantikoaren arloan —oso txikia den horren fisika— ziurgabetasunaren printzipiorako oinarri matematikoa eskaintzen du. Horren arabera, ezinezkoa da zehatz jakitea zein den partikula baten kokapena eta une lineala. Partikularen balizko kokapenak deskribatuko dituen funtzio bat idatz dezakegu, baina funtzio horren Fourier-en transformadak partikularen balizko uneak deskribatuko ditu. Funtzioak partikularen posizioa probabilitate handiarekin adierazten badu —grafikoan gailur handi batekin adierazten da—, Fourier-en transformada oso sakabanatuta egongo da. Ezinezkoa izango da unea zehaztea. Eta aurkakoa ere egia da.
Fourier-en transformada errotu egin da ikerketa matematiko puruan. Analisi harmonikoa —Fourier-en transformada eta jatorrizko funtzioa berrezartzeko transformada alderantzizkatzeko modua ikertzen ditu— uhinak ikertzeko esparru sendoa da. Halaber, matematikariek lotura sendoak eta ustekabekoak topatu dituzte, zenbakien teoriari lotuta. Horiei esker, zenbaki osoen arteko harremanak aztertu dituzte, zenbaki lehenen banaketa barne (hori da, hain zuzen ere, matematiken misterio handienetariko bat).
“Gendeak Fourier-en transformada ezagutuko ez balu, ez dakin matematiken zer ehuneko desagertuko litzatekeen” baieztatu du Fefferman-ek. “Bai ziur oso ehuneko handia izango litzatekeela”.
Jatorrizko artikulua:
(2025). What Is the Fourier Transform?, Quanta Magazine, 2025ko irailaren 3a. Quanta Magazine aldizkariaren baimenarekin berrinprimatua.