Zenbakien teoriaren gai funtsezkoenetako batean aurrera egiteko, bi matematikarik ustekabeko iturri batera jo zuten.
Proba batek ahalbidetu du matematikariek beste pauso bat ematea “aritmetikaren atomoen”, —zenbaki lehenen—, ordena ezkutua ulertzeko.
Zenbaki lehenak (bi zatitzaile besterik ez dituzten zenbakiak: 1 eta zenbakia bera) matematiken oinarrizko elementuak dira. Baita misteriotsuenak ere. Begiratu batean, badirudi ausaz daudela sakabanatuta zenbakizko zuzenean; baina, jakina, zenbaki lehenak ez dira aleatorioak. Guztiz zehaztuta daude eta, arreta handiagoa jartzen badugu, ikus dezakegu askotariko patroi arraroak dituztela; eta matematikariek mendeak eman dituzte horiek argitu nahian. Zenbaki lehenak nola sakabanatzen diren hobeto ulertuko bagenu, unibertso matematikoaren eremu zabalak argituko genituzkeen.
Hala ere, nahiz eta matematikariek zenbaki lehenen gutxi gorabeherako kokalekua adierazteko formulak badituzten, ezin dituzte zehatz-mehatz seinalatu. Aitzitik, zeharkakoagoa den ikuspegia hartu behar izan dute.
Kristo aurreko 300. urtearen inguruan, Euclidesek frogatu zuen zenbaki lehenen kopurua infinitua dela. Ordutik, matematikariek haren teorema garatu dute, eta gauza bera egiaztatu dute zenbait irizpide gehigarri betetzen dituzten zenbaki lehenen kasuan (hona hemen adibide erraz bat: ba al dago 7 zenbakia ez duten zenbaki lehenen kopuru infiniturik?). Denborak aurrera egin ahala, matematikariek lortu dute irizpide horiek gero eta zorrotzagoak izatea. Eta gero eta zurrunagoak diren mugapen horiek betetzen dituzten zenbaki lehenen kopuru infinitu bat badagoela frogatzean, gehiago ikasi ahal izan dute horien kokapenari buruz.
Baina horrelako baieztapenak egiaztatzea oso zaila da. “Ez dago horrelako emaitza askorik”, adierazi du Turku Unibertsitateko (Finlandia) Joni Teräväinenek.
Oraingoan, bi matematikarik —Ben Green, Oxfordeko Unibertsitatekoa, eta Mehtaab Sawhney, Columbia Unibertsitatekoa— frogatu dute baieztapen hori ere betetzen dela bereziki zaila den zenbaki lehenen mota bati dagokionez. Haien frogapenak, urrian sarean argitaratutakoak, matematikarien zenbaki lehenei buruzko ulermena zorrozteaz gain, matematikarengandik oso bestelakoa den arlo bateko tresna multzo bat erabiltzen du. Eta horrek erakusten du tresna horiek matematikariek imajinatzen zutena baino askoz ere boteretsuagoak direla, eta beste eremu batzuetan ere aplikazioak izan ditzaketela.
“Zoragarria da”, adierazi du Torontoko Unibertsitateko John Friedlanderrek. “Benetan harrituta nago hori lortu dutelako”.
Proba multzo bat
Matematikariek zenbaki lehenen familia jakin batzuk aztertu ohi dituzte: interesgarriak izateko adina konplikatuak, baina eremu horietan aurrera egin ahal izateko bezain sinpleak direnak. Adibidez, saiakera egin ahal lukete frogatzeko 500 unitate tartean dituzten zenbaki lehenen kopuru infinitu bat dagoela, edo zenbaki lehenen kopuru infinitu bat eraiki dezakegula beste zenbaki batzuen karratuak batuta.
Azken mugapen hori benetan erabilgarria izan da, aurrerapen matematikozko mendeak gidatu baititu. 1640an, Pierre de Fermat-ek adierazi zuen bi zenbaki osoren karratua atera eta horiek batzean zenbaki lehen infinituak formula daitezkeela. (13 zenbaki lehena, adibidez, 22 + 32 gisa ere idatz daiteke). Leonhard Eulerrek frogatuko zuen hori aurrerago. Baina gaia pixka bat aldatzen badugu (ezartzen badugu zenbaki oso horietako batek bakoitia izan behar duela edo, agian, karratu perfektua), arazoa askoz zailagoa da. “Multzoa zenbat eta gehiago mugatu, orduan eta zailagoa da bertan zenbaki lehenak aurkitzea”, azaldu du Greenek.
XIX. mendean, ikertzaileek zenbakien teoria modernoaren zatirik handiena garatu zuten horrelako enuntziatuen ikerketatik abiatuta. XX. mendean, ikerketa horiek ordura arteko ahalegin matematiko handinahietako bat inspiratzen lagundu zuten: Langlands programa. Eta, XXI. mendean, zenbaki lehen mota horri buruzko lanean teknika eta ezagutza berriak sortzen joan dira.
2018an, Rutgers Unibertsitateko Friedlanderrek eta Henryk Iwaniecek planteatu zuten ea p2 + 4q2 formako zenbaki lehen infinituak ote dauden, non p nahiz q ere lehenak diren (adibidez, 41 = 52 + 4 × 22). Mugapen hori abordatzeko oso zaila izan zen, baina matematikariek problema hori ebaztea lortzen bazuten, zenbaki lehenen gaineko kontrol maila berri bat lortuko zuten, eta hori da, hain zuzen ere, hasieratik lortu nahi zena.
Bisitaldi emankorra
Green eta Sawhney ez zeuden ohituta, honen aurretik, zenbaki lehenak zenbatzeko jolas mota horretara, baina biek zuten eskarmentua zenbaki lehenen atzean dauden patroi arraroen ikerketan.
Uztailean, bi matematikariek elkar ezagutu zuten Edinburgon izandako konferentzia batean. Sawhneyk, orduan, graduondoko eskola amaitu berri zuen, eta Greenen lana jarraitzen zuen aspalditik. Izan ere, Greenek duela 20 urte frogatutako funtsezko emaitza bat izan zen, Sawhneyren hitzetan, gaira erakarri zuen gauzetako bat. ‘Ai, ene! Nola egin ahal izan zenuen hori?’, pentsatu nuen”, adierazi du Sawhneyrrek. Eta Green ere txundituta zegoen matematikari gaztearekin. “Mehtaab aparteko matematikaria da, apartekoa”, esan zuen. “Ez dakit nola, baina dena daki”.
Eta horrela jaio zen bien arteko lankidetza. Kontu bat besterik ez zen falta: aztergaia aurkitzea. Eztabaida txiki baten ostean, Friedlander eta Iwaniecen aierua aukeratu zuten.
Greenek Sawhney gonbidatu zuen Oxfordera astebetez. Jakin bazekiten, antzeko aieruak frogatzeko, biek erabili ohi zutela zenbaketa tekniken multzo berezi bat. Hala ere, aztergai zuten problemako zenbaki lehenak hain zorrotz definituta zeudenez, Greenek eta Sawhneyk ezin izan zuten modurik aurkitu tresna tradizionalen multzo horrekin lan egiteko.
Aitzitik, aierua modu zeharkakoagoan frogatu nahi zuten, xake mugimendu matematiko moduko baten bidez. Baina, aurretik, mugimendu hori egiteko aukera bazutela frogatu behar zuten.
Bisitaldia amaitzerako, Sawhneyk eta Greenek hori guztia nola egin zezaketen deskubritu zuten; eta, horri esker, aierua frogatu ahal izan zuten. Eta, horretarako, konexio benetan harrigarria egin zuten matematiken beste arlo batekin.
Egin proba beste multzo batekin
Greenek eta Sawhneyk ezin zuten zuzenean zenbatu bi zenbaki lehenen karratua aterata eta horiek batuta sortzen zen zenbaki lehenen kopurua. Baina, zer gerta zitekeen mugapena pixka bat malgutzen bazuten? Ohartu ziren aztergai zuten problemaren bertsio pixka bat ahulago bat ebatz zezaketela. Bertsio horretan, hasierako zenbakiek lehen «hurbilduak» besterik ez zuten izan behar.
Zenbaki lehen hurbilduak zenbaki lehen arruntak baino errazago aurkitzen dira. Esan dezagun 1 eta 200 arteko zenbaki lehen hurbildu guztiak zenbatu nahi dituzula. Hasteko, har ezazu zenbaki lehen txikienen multzo txiki bat: 2, 3, 5 eta 7, adibidez. Ondoren, zenbatu lehen horiekin zatitu ezin diren zenbaki guztiak. Zenbaki horiek dira lehen hurbilduak. Kasu honetan, 50 zenbaki lehen hurbildu lortuko zenituzke: horietatik 46 lehenak dira, eta gainerako laurak (121, 143, 169 eta 187) ez. Lehen hurbilduen sakabanatzea ez da lehen arrunten sakabanatzea bezain aleatorioa; hortaz, askoz errazagoa da lehen hurbilduekin lan egitea. «Lehen hurbilduak askoz eta askoz hobeto ulertzen dugun multzoa dira», esan du Sawhneyk.
Greenek eta Sawhneyk frogatu zuten zenbaki lehenen kopuru infinitua sor daitekeela bi lehen hurbilduren karratua aterata eta horien batuketa eginda. Ondoren, bakarrik falta zitzaien frogatzea zer inplikazio zuen baieztapen horrek benetan ebatzi nahi zuten probleman: zenbaki lehen errealen karratuen batuketa gisa idatz daitezkeen zenbaki lehenen kopuru infinitua ere badagoela.
Baina ez zen hain agerikoa. Funtzioen multzo berezi bat aztertu behar zuten, I eta II motako batuketa izenaz ezagunak direnak, problemaren bertsio bakoitzerako; eta, ondoren, frogatu behar zuten batuketa horiek baliokideak zirela, erabilitako mugapena gorabehera. Soilik orduan jakingo zuten Greenek eta Sawhneyk beren probako zenbaki lehen hurbilak ordeztu ahal zituztela informaziorik galdu gabe.
Eta zerbaitez ohartu ziren: batuketak baliokideak zirela froga zezaketen biek aurretik beste lan batzuetan beren aldetik erabili zuten tresna baten bidez. Tresna horri Gowersen araua deritzo; duela hamarkada batzuk sortu zuen Timothy Gowers matematikariak, funtzio bat edo zenbakien multzo bat zein neurrira arte den aleatorioa edo egituratua neurtzeko. Hasiera batean, bazirudien Gowersen araua matematikaz erabat bestelako esparru bati zegokiola. “Kanpotik begiratuta, ia ezinezkoa da esatea bi kontu horien artean lotura dagoela”, esan du Sawhneyk.
Baina, 2018an Terence Tao eta Tamar Ziegler matematikariek frogatutako emaitza historiko bat oinarri hartuta, Greenek eta Sawhneyk modu bat aurkitu zuten Gowersen arauen eta I eta II motako batuketen artean konexioa ezartzeko. Labur azaltzearren, Gowersen arauak erabili behar zituzten frogatzeko aztergai zituzten zenbaki lehenen bi multzoak (lehen hurbilekin osatutako multzoa eta lehen errealekin sortutakoa) behar bezain antzekoak zirela.
Eta Sawhneyk bazekien nola egin zezaketen hori. Urte honen hasieran, gaiari lotuta ez dagoen beste problema bat ebazteko, Gowersen arauen bidez multzoak erkatzeko teknika bat garatu zuen. Eta benetan harrituta geratu zen ohartu zenean teknika hori erabil zezaketela frogatzeko bi multzoek I eta II motako batuketa berberak zituztela.
Horiek horrela, Greenek eta Sawhneyk Friedlanderren eta Iwaniecen aierua frogatu zuten: p2 + 4q2 gisa idatz daitezkeen zenbaki lehen infinituak daude. Azkenik, emaitza horretan oinarrituta, frogatu ahal izan zuten beste familia mota batzuei dagozkien zenbaki lehen infinituak badaudela. Emaitza hori aurrerapauso nabarmena da aurrerapen oso txikiak izan ohi dituen problema mota batean.
Eta, are garrantzitsuago, lan horrek frogatzen du Gowersen araua tresna boteretsua izan daitekeela beste eremu batean. “Hain berria denez, zenbakien teoriaren atal honetan behintzat, potentziala dago harekin beste gauza asko lortzeko”, azaldu du Friedlanderrek. Hemendik aurrera, matematikariek espero dute Gowersen arauaren irismena are gehiago zabaldu ahal izatea, eta zenbakien teorian beste problema batzuk ere ebazteko erabili ahal izatea, zenbaki lehenen zenbaketaz harago.
“Oso dibertigarria da ikustea nik garai batean planteatutako kontuek aplikazio berriak eta espero ez zirenak dituztela”, esan du Zieglerrek. “Sentsazioa da gurasook askatasuna eman diegula seme-alabei, eta horiek hazi egin direla eta gauza misteriotsu eta ezustekoak egin dituztela”.
Jatorrizko artikulua:
Joseph Howlett (2024). Mathematicians Uncover a New Way to Count Prime Numbers, Quanta Magazine, 2024ko abenduaren 11a. Quanta Magazine aldizkariaren baimenarekin berrinprimatua.