Ariketa fisikoa egitea osasungarria dela esaten digute behin eta berriro. Fisikoa bakarrik ez, buruari eragitea ere onuragarria da. Nagiak atera eta aurten ere, hamar urte betetzen dituen ohiturarekin jarraituz, udako oporretan egiteko ostiralero matematika-ariketa bat izango duzue. Javier Duoandikoetxea matematikariak guztira sei ariketa aukeratu ditu Zientzia Kaieran argitaratzeko.
Hona hemen gure hirugarren ariketa:
Segida baten lehen hiru gaiak 1, 2 eta 3 dira. Hortik aurrera, gai bat lortzeko haren aurretik dauden hirurak hartzen dira kontuan, horietako lehen bien baturari hirugarrena kenduta. Adibidez, laugarren gaia 1 + 2 – 3 = 0 izango da; bosgarrena, 2 + 3 – 0 = 5, eta abar. Formalki, n. lekuan dagoen gaia an bada, an = an-3 + an-2 – an-1 betetzen da. Horrela, segidaren hasiera 1, 2, 3, 0, 5, -2, 7… da. Zein izango dira 2024. eta 2025. postuetan agertzen diren gaiak?
Zein da erantzuna? Idatzi emaitza iruzkinen atalean (artikuluaren behealdean daukazu) eta, nahi izanez gero, zehaztu jarraitu duzun ebazpidea ere. Irailean emaitza zuzenaren berri emango dizugu.
Ariketak “Calendrier Mathématique 2025” egutegitik hartuta daude. Astelehenetik ostiralera, egun bakoitzean ariketa bat proposatzen du egutegiak. Ostiralero CNRS blogeko Défis du Calendrier Mathématique atalean aste horretako ariketa bat aurki daiteke.
5 iruzkinak
2025eko udako estiloari eutsiz, soluzioa emango dut lehenengo eta behin:
2025. postuko gaia 2025 da eta aurrekoa, -2020.
Ariketa modu sinplean ebazteko bi segida hartuko ditut kontuan; bata, postu bakoitietan dauden gaiek osatua, eta, bestea, postu bikoitiko gaietakoa.
Hona hemen, beraz, lehenengo segida:
a1 = 1 (lehen gaia, alegia)
a3 = 3
a5 = 5
a7 = 7
Erraz antzeman dezakegu postuarekin bat datorrela gaiaren zenbakizko balioa.
Horrenbestez, a2n-1 = 2n-1
Lortu dugu 2025. postuko gaiaren balioa → a2025 = 2025
Bigarren segida dator hemen:
a2 = 2 (bigarren gaia, alegia)
a4 = 0
a6 = -2
a8 = -4
a10 = -6
Gaien zenbakizko balioa postuarekin lotzea nahiko erraz lortzen da bigarren segida horretan ere. Adieraz dezagun zenbait gai modu horretara:
a2 = 4-2
a4 = 4-4
a6 = 4-6
a8 = 4-8
a10 = 4-10
a2n = 4-2n
a2024 = 4-2024 → 2024. postuko gaia -2020 da.
Oharra: gustuko ditut emaitzetan garaiei keinua egiten dieten ariketak
Zaila izan zait ariketa honen ebazpena lortzea, eta aitortu behar dut Aneren erantzuna irakurri arte ez dudala bide zuzena aurkitu. Okerreko bidetik nenbilen. Erantzun horretan baliatuz Excel horrialde bat egin dut, non lau zutabe ditut
A,B,C eta D non lenengo zerrendan D=A+B-C
Bigarrengo zerrendan;
D1=A1+B1-C1, Non C1=D
Horrela zerrendaz zerrenda, non C(n)=A(n-1)+B(n-1)-C(n-1)
Emandako ondorengoa zerako hau da;
2024–> 2021 -2018 2023 -2020
2025–> -2018 2023 -2020 2025
Hau da nire ebazpena.
Taldean lan egitea ona da, Iñaki, ideiak sortzen dira. Gainera, polita da besteon ebazpenak ikustea.
Ea jendea animatzen den!
Kaixo!
Ze ondo Javiren asmakizunak hemendik ditugula 😀 (Badakit aurretik badaudela, baina honetatik hasiko naiz, besteak zailagoak egin zaizkit)
Zera, indar gordin konputazionala erabili dut 2024. eta 2025. postuak kalkulatzeko, ze hori da matematiketan hoberen ematen zaidana: R erabiltzea XD
Egia da ere, lehenengo zenbakien jarraiera ikusita, patroi bat azaleratzen dela: posizio bakoitietan posizio hori da emaitza, eta posizio bikoitietan -(posizioa-4). Hortaz, 2024 posizioan -2020 egongo da, eta 2025ean 2025.
Besarkada handi bat,
Burura etorri zaidan lehenengo ideia Anek proposatutakoa da, bitan banatzea segida (posizio bakoitiko eta bikoitiko zenbaki-segidak). Ondoren, beste patroi bat ikusi dut, eta honekin ere kalkula dezakegu edozein gai. Koldok erabili duen metodoa ere asko gustatu zait, “indar konputazionala” lehenengo eta, ondoren, ikusten diren patroiak erraz azaldu.
___________________________________
1, 2, 3, 0, 5, -2, 7, -4, 9, -6, 11, -8, 13…
Segida errepikakorra dugu, lehenengo hiru gaiak definitu ondoren, segidako hurrengoko gai bat, gai horren aurreko hiru gaiak eabiliz lortzen da.
Segidari erreparatuta, argi ikusten da posizio bakoitiko gaiek posizioak adierazten duen balio bera hartzen dutela eta leku bikoitietako gaiek diferentzia -2 duten progresio aritmetikoa eratzen dutela; orduan, an gai orokorra honela definitu daiteke:
an= n baldin n=2k-1 bada eta an=4-n baldin n=2k bada (k=1,2,3…).
Ondorioz,
a2025=2025 eta a2024= 4-2024=-2020
____________________________________
Beste ikuspuntu bat ematearren, honela ere ebaz daiteke:
Definizioaren arabera, an=a(n-3)+a(n-2)-a(n-1) —> a(n-3)+a(n-2) =an+a(n-1), denez, honako pauta hau ere ikusten da:
a1+a2=a3+a4=a5+a6=···=a(2k-1)+a(2k)=…= 3
a2+a3=a4+a5=a6+a7=···=a(2k)+a(2k+1)=…= 5
Hau da, lehenengo gaitatik hasita, ondoz ondoko bi gaien baura (posizio bakoitikoa gehi posizio bikoitikoa), hurrengo biren baturaren berdina da, 3 hain zuzen. Bigarren gaitatik hasita (posizio bikoitikoa gehi posizio bakoitikoa), ordea, batura konstantea 5 da.
Beraz,
(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+···+(a2021+a2022)+ (a2023+a2024)=3+3+3+···+3=3·2024/2=3·1012=3036
(a2+a3)+(a4+a5)+(a6+a7)+···+(a2022+a2023) =5+5+5+···+5=5·2022/25·1011=5055
Goiko adierazpena ken behekoa eginez,
a1+a2024=3036-5055 —> 1+a2024=-2019 —> a2024=-2020
Bestetik,
(a2+a3)+(a4+a5)+(a6+a7)+···+(a2024+a2025) =5+5+5+···+5=5·1012=5060
(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+···+(a2023+a2024)=3+3+3+···+3=3·1012=3036
Goiko adierazpena ken behekoa eginez,
-a1+a2025=5060-3036 —> -1+a2025=2024 —> a2025=2025
___________________________________
Gero arte!