Afarien ordainketak joko matematikoen bidez aztertuz

Josu Doncel

Jatetxe batean zein plater eskatuko dugun aurreikusi daiteke. Horretarako, joko-teoria erabili daitekeela ikusiko dugu.

Joko-teoria matematiko arlo bat da eta bertan eredu matematikoak sortzen dira agente berekoien portaera aztertzeko. Makina bat aplikazio du joko-teoriak, ekonomian eta kirolean, esate baterako. Izan ere, joko-teoriako ereduetan, parte hartzen duen jokalari bakoitzari funtzio bat esleitzen zaio haren onura neurtzen duena eta, horiek horrela, jokalari baten onura izango da berak hartutako erabakien araberakoa, baita jokoan parte hartzen duten beste jokalarien erabakien araberakoa ere.

Teoria honen sortzailea John F. Nash zientzialaria dela esaten da. Berak frogatutako teoremaren arabera, ondorioztatu ahal da badagoela egoera bat non jokoan parte hartzen duten agente edo jokalari guztiek interesik ez duten hartutako erabakia aldatzeko. Egoera honi (edo estrategia-multzo honi), izan ere, Nash oreka deritzo. Nashek Ekonomia Zientzietako Omenezko Nobel saria jaso zuen 1994an eta haren bidez joko-teoriak egindako lana saritu zuten.

Artikulu honetan, jatetxe batean eskatzen diren plateretan joko-teoria aplikatzen dela ikusiko dugu. Lehenik, presoaren dilema deituriko eredua aurkeztuko dut. Demagun bi preso atxilotuta daudela eta poliziak jakin nahi du zein den erruduna. Horretarako, presoak banandu dituzte eta bakoitzari bi aukera ematen diote: alde batetik, poliziarekin kooperatzea eta aitortzea; eta bestetik, uko egitea laguntzeari. Bestalde, bi presoen zigorra haien erabakien araberakoa izango da. Biek kooperatzea aukeratzen badute, preso bakoitzaren zigorra sei urtekoa izango da. Aldiz, biek laguntzeari uko egiten badiote, preso bakoitzaren zigorra urte batekoa izango da. Bestalde, preso batek kooperatzen badu eta besteak ez, kooperatzen duena libre ateratzen da eta bestearen zigorra hamar urtekoa izango da.

Adibide honen Nash oreka bi presoek poliziarekin kooperatzea da. Izan ere, biek kooperatzen badute, alde bakarreko erabaki-aldaketak ez du onurarik izango presoentzat, alegia, denbora gehiago egongo dira kartzelan (sei urtetik hamar urtera igoko litzateke erabakia aldatzen duen jokalariaren atxiloketa-denbora). Aldiz, argi dago bi presoentzat hoberena izango litzatekeena biek kooperatzeari uko egitea (bakoitzak urte bat baino ez lukeelako igaroko kartzelan). Eredu honek erakusten duena da joko-teoriak duen propietate interesgarri bat: modu berekoian hartzen diren erabakiak (hau da, Nash orekakoak) ez direla beti guztientzat hoberenak diren erabakien berdinak. Edo beste modu batean esanda, modu berekoian jokatzean hartutako erabakiak eta guztien onura bilatze aldera hartutako erabakiak ez direla beti berdinak.

Orain afariaren ereduari begiratuko diogu. Demagun n lagunez osatutako talde bat afaltzera irten dela jatetxe batera. Jatetxe horretan bi aukera baino ez daude: A eta B platerak. Bi plater hauen artean, A platera gozoagoa dago, baino askoz garestiagoa da. Pertsona bakoitzak erabaki behar du A edo B platera hartu nahi duen. Bi plateren salneurriaren diferentzia handia denez, bakoitzak bere platera ordaindu behar badu, ez du merezi A platera ordaintzea. Hala ere, kontua guztien artean ordainduz gero, mahaikide batek A edo B platera eskatzen badu ez da egongo diferentzia handirik guztien kontuan. Zer egingo du mahaikide bakoitzak?

Mahaikide kopurua n bada, egoera arestian aurkeztutako presoaren dilemaren ereduaren baliokidea da, baina n jokalariz osatua kasu honetan. Hortaz, afari horretan ekartzen den jokoaren soluzioa (hau da, Nash oreka estrategia-multzoa), kontua partekatuz gero, mahaikide bakoitzak plater garestia eskatzea izango da. Izan ere, guztiek A eskatzerakoan, inork ez du alde bakarreko aldaketarik egingo eskatutako platerean. Aldiz, bakoitzak bere platera ordaintzen badu, jokoaren soluzioa mahaikide bakoitzak plater merkea eskatzea izango da.

Egoera hau abiapuntutzat hartuta, The Inefficiency of Splitting the Bill artikuluan ondoko esperimentua egin zuten. Hainbat afariren kontuak aztertu zituen (mahaikide kopuru berdinekin eta plateren salneurri berdinekin), haien arteko ezberdintasun bakarra izanik kontua ordaintzeko modua: batzuen kasuan bakoitzak bere platera ordaintzen zuen eta beste batzuen kasuan kontua partekatzen zuten. Bakoitzak bere platera ordaindu zutenen batez besteko kontua 37,3 dolar izan zen; ordainketa partekatu zutenen artean, berriz, batez besteko kontua, 50,9 dolar. Hortaz, kontua partekatu zutenek plater garestiagoak eskatu zituzten. Hori horrela, artikulu horretako autoreek ondorioztatu zuten joko-teoriak emandako soluzioarekin bat zetorrela mahaikideen portaera.

Erreferentzia bibliografikoa:

Egileaz:

Josu Doncel Matematikan doktorea da eta UPV/EHUko Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saileko irakaslea.