1940. urtean, André Weilek gutun bat idatzi zion bere arreba Simoneri, matematikaren hiru arloren arteko itzulpenerako bere ikuspegia azaltzeko. Laurogei urte aurrerago, gutunak esparru horretako garapen interesgarrienetako asko animatzen ditu oraindik ere.
1940. urtean, Rouengo (Frantzia) kartzelatik, André Weilek XX. mendeko matematikaren esparruko gutunik garrantzitsuenetako bat idatzi zuen. Zigorra betetzen ari zen Frantziako armadan sartzeari uko egin ziolako, eta egunak igarotzen zituen gutunak idazten, gehien bat bere arreba Simoneri zuzenduak. Simone filosofo bikaina zen, eta Londresen bizi zen.
Aurreko gutun batean, Simonek Andréri eskatu zion bere lanaz hitz egin ziezaiola. Gerra bete-betean, André erantzuna kontu handiz prestatzen hasi zen, baina arrebari ohartarazi zion puntu jakin batetik aurrera ez zuela ezer ulertuko. Hurrengo 14 orrialdeetan, matematikako “Rosetta harri” baten ideia azaldu zion. Izen bereko epigrafe famatuaren adibideari jarraikiz (testu hirueledun horri esker, Egipto zaharreko idazketa irakurri ahal izan zuten mendebaldeko irakurleek greko zaharrera itzultzearen bidez), Weilen Rosetta harriak matematikaren hiru esparru lotzen zituen: zenbakien teoria, geometria eta, erdian, eremu finituen azterketa.
Beste matematikari batzuek ere ildo bereko ideiak proposatu zituzten aurretik, baina Weil izan zen lehena ikuspegi zehatz bat azaltzen. Weilen gutunak Langlands programa iragartzen zuen, ikerketa matematiko garaikideko ekimen garrantzitsu bat.
«Elkarren artean zuzenean komunikatzen ez diren hiru mundu daude, baina badituzte zenbait ezaugarri komunean, eta esperientziak erakusten du alde bateko galdera batzuk behar bezala interpreta daitezkeela beste alde batean», azaldu du Standfordeko Unibertsitateko Brian Conradek.
Weilen Rosetta harriaren lehen elementua zenbakien teoria zen, milaka urteetan zehar ikerketa matematikoaren bihotz karismatikoa izan dena. Zenbakien teoriaren kezka nagusia zenbaki osoak dira (zenbaki oso positiboak eta negatiboak), baita horien menpeko funtzioak ere. Zenbakien teorialariak hainbat ideia saiatzen dira frogatzen, esaterako, nola banatzen diren zenbaki lehenak. Horretarako, matematikaren hainbat adar esoterikoetatik atera daitezkeen tresnak erabiltzen dituzte. Zenbaki eremu deritzen mundu matematikoak ere aztertzen dituzte, zenbaki osoen ezaugarri garrantzitsuenetako batzuk orokortzen dituztenak.
Weilen Rosetta harriaren beste aldean geometria zegoen. Arreta berezia eskaintzen zien esfera, donut eta pretzel [korapilo formako galleta gaziak] moduko formei, eta hainbat zulorekin imaginatzen zituen. Forma horiek bi aldagaiko ekuazio batzuen soluzioen multzoak dira (adibidez, y2 = x3 − x). Pentsa daiteke soluzio horiek zenbaki «konplexuak» direla, zati «erreal» bat (egunerokoak erabiltzen ditugun zenbaki motak) eta zati «irudikari» bat (zenbaki erreal bat bider -1en erro karratua, i idazten dena) dutenak.
Forma horiek ekuazio polinomikoen soluzioen enkarnazio geometrikoa direnez, horien egitura ustia daiteke analisi konplexuko teknikak erabilita (kalkulu mota bat). Egitura horrek teoremak frogatzeko tresnen multzo aberatsagoa eskaintzen du, zenbakien teorialarientzat berehala eskuragarri daudenez haratago.
Hori guztia bazekiten XIX. mendeko matematikariek, eta horrexek berak bultzatu zituen pentsatzera zein ederra izango litzatekeen“Riemann-en gainazalei” buruzko teoremak frogatzea (horiek ziren Weili interesatzen zitzaizkion formak), eta ondoren zenbakien teoriako teoremetara itzultzea. Baina gauza eder asko ez dira egia, eta Weilek arrebari aitortu zion Riemannen gainazalen teoria “zenbakien teoriarengandik urrunegi” dagoela. “Erabat trabatuta egongo ginateke bien arteko zubirik ez balego”.
Orduan, gutunaren mamira iritsi zen: zubi hori eraikitzen ari zen. Hau idatzi zuen: “Jainkoak deabrua gainditzen duela bezain argi: zubi hori existitzen da”.
Weilek proposatzen zuen zubia eremu finituen azterketa zen. Eremu horiek zenbaki txikien sistemak dira, eta zenbaki errealen antzekoak dira problemarik gabe funtzionatzen duten bi eragiketa dituztelako, hala nola batuketa eta biderketa. Hori lortzen dute erloju batean dagoen forma zirkularra hartuta, orduen zenbaki lehen batekin. Esan dezagun 11 orduko erloju bat daukagula; 10:00etan puntuan hasita eta bi ordu gehituta, 13:00etan kokatuko ginateke. (Erlojuko orduen kopuruak zenbaki lehena izan behar du zatiketan behar bezala funtziona dezan).
Eremu finituen esparruan, zenbakien teoria eta geometria fusionatzen hasten dira.
Hori nola gertatzen den ikusteko, har dezagun bi elementu dituen (zero eta bat) eremu finitu bat. Polinomioak idatz ditzakezu (batuketak eta berretzaile finkoko produktuak konbinatzen dituzten funtzioak) eremu horretan. Horien koefizienteek (aldagaien aurreko zenbakiak) zero edo bat izan behar dute, bi polinomio hauetan bezalaxe:
A adibidea: 0x3 + 1x2 + 0x + 1
B adibidea: 1x3 + 1x2 + 1x + 0
Polinomio horiek soilik beren koefizienteak erabiliz isla daitezke, zero eta bat zenbakien kate bat osatuta. Osoko zenbakiak ere zero eta bat zenbakien kate gisa kodifika daitezke, forma bitar deritzonean, non 2 zenbakiaren berreturen batuketa gisa adierazten diren. 1 zenbakia 20ren baliokidea da, 2 zenbakia 21ena, 3 zenbakia 21 + 20 litzateke, eta berdin hortik aurrera. Horrenbestez, bitarrean, lehenengo hiru osoko zenbakiak 00, 01 eta 10 dira.
Bi elementudun eremu finituan, polinomioen osoko zenbakiak eta koefizienteak zero eta bat zenbakien kate gisa daude kodetuta. Hortaz, A adibideko polinomioa 5 zenbakiari dagokio, bere koefizienteak —0101— 5 zenbakia direlako, sistema bitarrean idatzita. Eta B adibideko polinomioa 14 zenbakiari dagokio, 1110 bitarrean idatzita 14 zenbakia baita.
Eta antzekotasun gehiago ere badituzte. Osoko zenbaki batzuk lehenak ere badira. Horrek esan nahi du horien faktore bakarrak 1 eta zenbakia bera direla; beste batzuk, aldiz, konposatuak dira, eta horrek esan nahi du zenbaki lehen anitzen produktu direla. Eta lehenen eta konposatuen arteko bereizketa hori bera polinomioei aplikatzen zaie. Polinomio batzuk beraiek bakarrik faktorizatu ezin diren polinomio txikiagoen produktu gisa faktoriza daitezke. Polinomio txikiago horiek, polinomio laburtezin izenekoak, polinomioen munduko zenbaki lehenak dira. Eta, gainera, polinomio laburtezinen koefizienteek zenbaki lehenak kodifikatzen dituzten kate bitarrak osatzen dituzte. Polinomioak hertsiki lotuta daude geometriaren ideiekin, baina bi elementudun eremu finituan horren aritmetika osoko zenbakien aritmetikarekiko analogo lauso bilakatzen da; eta, testuinguru horretan, aukera berri bat irekitzen du: intuizio bisuala aplikatu ahal izatea zenbakien teoriako kontuetan.
Arrebarentzako gutunean, Weilek adierazten zuen “zenbaki eremuekiko analogia hain dela zurruna eta agerikoa non ez dagoen aritmetikan funtzio eremura [edo eremu finitura] ia hitzez hitz itzul ezin daitekeen argudio edo emaitzarik”. Hala ere, aitortzen zuen Riemannen gainazalen eta eremu finituen arteko distantzia handiagoa zela. Polinomioak eremu finituetan adieraz eta faktoriza daitezke, baina analisi konplexuaren makineria osoa eremu finituetara inportatzea beste kontu bat da erabat. Hala ere, Weilek hala esaten zuen, konfiantzaz: «Distantzia ez da hain handia; azterlan paziente baten bidez ikasiko dugu egunen batean batetik bestera joaten». Eta, orduan, bere anbizio handia deskribatzen zuen:
Nire lana testu hirueledun bat deszifratzean datza [hortik dator Rosetta harriarekiko simila]; hiru zutabeetako bakoitzean bat ez datozen zatiak besterik ez ditut; ideiaren bat dut hiru hizkuntzetako bakoitzean; baina, aldi berean, badakit zutabe batetik bestera esanahi alde handiak daudela, eta aurretik ezerk ez nauela horretarako prestatu.
Hori guztia 1940. urtean izan zen. Bada, hurrengo hamarkadan zehar, Weilek bere Rosetta harriaren eremu handiak deszifratu zituzten metodo zehatzak garatu zituen. Eta zenbakien teoriaren eta geometriaren arteko harremanari buruzko ideia batzuk ere landu zituen. Horietatik ausartena Riemannen hipotesiaren eremu finituaren bertsio bat izan zen, matematiken esparruko gai ireki garrantzitsuenetako bat, besteak beste zenbaki lehenak nola banatzen diren jorratzen duena. (Bertsio horren kasu dimentsiobakar bat frogatu zuen).
«Intuizioa nabaria den zerbaitetan bihurtzen duzunean, orduan bilakatzen da baliotsu», esan du Kaliforniako Unibertsitateko (Berkeley) Edward Frenkelek.
Berrogeita hamarreko hamarkadaren amaieran eta hirurogeiko hamarkadaren hasieran, Alexander Grothendieckek funtsezko ekarpenak egin zituen geometria aljebraikoaren esparruan Weilen ideiak frogatu nahian. 1973an, Pierre Delignek Grothendiecken teknikak erabili zituen Weilen Riemannen hipotesiaren eremu finituen bertsioa frogatzeko maila goreneko dimentsioetan.
Weilen Rosetta harriak ere Langlands programaren aurrerapenaren ardatz izan da. Proiektu handi horren helburua da matematikaren eremu ezberdinak bateratzea. Proiektua 1967an abiarazi zen, Robert Langlands fundatzaileak ideia kontatu zionean gutun bidez Weili. Bertan esaten zion zenbakien teoriaren barruan ikerketa adar ezberdinak konektatu nahi zituela. Aurrerago, 1980ko hamarkadaren hasieran, Alexander Beilinsonek eta Vladimir Drinfeldek Langlands programaren bertsio geometriko bat definitu zuten, Langlandsen ikuspegia zabalduta zenbakien teoriaren eta geometriaren arteko konexioa barne hartzeko.
Azken urteetan, Langlands programako aurrerapen garrantzitsuenetako batzuetarako, Robert Langlandsen zenbakien teoriaren jatorrizko ikuspegiaren eta ondoko bertsio geometrikoaren arteko itzulpenak behar izan dira. Itzulpen horiek Weilen Rosetta harrian ezarritako ikuspegiei jarraitzen diete.
2021ean, Laurent Farguesek eta Peter Scholzek Fargues-Fontaineren kurbari buruzko lana amaitu zuten. Hori Langlands programaren bertsio geometrikoaren eta zenbakien teoriaren bertsioaren arteko lehen itzulpen zuzenetako bat izan zen. Azken hilabeteetan, Frenkel, Pavel Etingof eta David Kazhdan adituek bi bertsioen arteko lotura zorroztu dute. Langlandsen programa geometrikoa Langlandsen hasiera bateko ikuspegiarekiko kontsistenteagoak ziren terminoetan birdefinitu zuten, bien arteko itzulpen zehatzagoa lortuta.
Frenkelentzat, Weilen Rosetta harriaren inpaktuak matematikak egiteko modua laburbiltzen du. Ideia berri batzuk jada ezagunak ditugun beste gauza batzuen logikaren ondorioz sortzen dira. Eta beste batzuk, aldiz, —gehienetan garrantzitsuenak— erabat orijinalak dira.
“Ezerezetik datozen ideiak dirudite; ez dira hain nabarmenak eta ezin dira hain erraz arakatu”, azaldu du Frenkelek. Weilen ideia, aldiz, ametsa baino gehiago zen. «Guztiok daukagu amets bat», esan du Frenkelek. “Weilek, gutunean amets hori artikulatzeaz gain, gerora zehatza den zerbaitetan bihurtu zuen”.
Jatorrizko artikulua:
Kevin Hartnett (2024). A Rosetta Stone for Mathematics, Quanta Magazine, 2024ko maiatzaren 6a. Quanta Magazine aldizkariaren baimenarekin berrinprimatua.