Oso sinplea dirudien Kakeyaren aieru engainagarriak matematikariak nahastuta izan ditu 50 urtez. Hiru dimentsioko aieruaren frogapen batek, baina, hari lotutako problemen serie oso bat argitzen lagundu du.
Imajinatu arkatz bat zure idazmahaian. Saiatu biratzen, behin seinalatu dezan norabide bakoitzera, baina bermatu ahalik eta azalera txikiena hartzen duela. Erdigunea ardatz hartuta bira dezakezu, zirkulu bat eginez. Baina, inteligentziaz mugituz gero, askoz ere emaitza hobea lor dezakezu.
DVDP Quanta Magazinerako
«Lerro zuzenek elkar ebakitzeko ahalmenari buruzko problema bat besterik ez da», azaldu du Jonathan Hickmanek, Edinburgoko Unibertsitateko matematikariak. «Baina benetan oparoa da: beste problema batzuekiko konexioen sorta zabala du».
Bost hamarkadatan, matematikariek erronka honen hiru dimentsioko bertsioaren soluziorik onena bilatu dute: arkatz bat airean mantendu eta norabide guztietara seinala dezala, ibilbidean ahalik eta espazioaren bolumen txikiena hartuz. Problema soil horrek gaina hartu die matematikari bizi handienetako batzuei, ebatzi gabeko problema asko eta asko baititu atzean.
Baina badirudi soluzioaren bilaketa amaitu dela. Arxiv.org aurreargitalpen zientifikoen webgunean duela gutxi argitaratutako artikulu batean, Hong Wangek, New Yorkeko Unibertsitateko Courant Institutukoak, eta Joshua Zahlek, Columbia Britainiarreko Unibertsitatekoak, Kakeyaren hiru dimentsioko aierua frogatu dute: mugimenduen patroi hori zeinen txikia izan daitekeen inguruko muga absolutua ezarri dute.
«Ez du handizkatzerik behar», baieztatu du Nets Katzek, Rice Unibertsitateko matematikariak. «Mendean behin lortzen den emaitza horietako bat da».
Konplikatzen den bilbea
Mark Belan Quanta Magazinerako
1917an, Sōichi Kakeyak planteatu zuen problema hori, baina infinituki fina zen arkatz batekin. Arkatza mugitzeko, mugimendu zirkular instintiboa ez den beste forma bat aurkitu zuen, azalera gutxiago hartuta.
Kakeyak bere buruari galdetu zion ea zeinen txikia izan litekeen arkatzak hartzen duen azalera. Bi urte geroago, Abram Besicovitch matematikari errusiarrak erantzuna aurkitu zuen: bira itxien multzo konplexu bat, zeinak, intuizioaren aurka, ez duen inongo espaziorik hartzen.
Eta horrek gaia ebatzitzat utzi zuen 1971ra arte. Une horretan, Charles Fefferman lerro birakariekin itxuraz zerikusirik ez zuen gai bat ikertzen ari zen, Fourier-en transformatua. Funtsezko tresna matematiko horren bidez edozein funtzio matematiko uhinen konbinazio gisa berrirudikatu daiteke. Feffermanen lanean etengabe agertzen zen Kakeyaren problemaren bertsio eraldatu bat. Kasu honetan, arkatzak lodiera jakin bat du, eta hiru dimentsiotan biratzen du. Bertsio horretan, Kakeyaren galdera bilakatu egiten da: arkatzaren lodiera aldatzean, zer-nolako eragina sortzen da arkatzak hartzen duen espazioaren bolumenean?
Matematikariek problema hori beste modu batean (modu baliokide batean) irudikatzen dute. Espazioan arkatz bat mugitu ordez, imajinatu haren ibilbidearen posizio guztiak aldi berean. Emaitza hori leku guztietara seinalatzen duten hodi irreal gainjarrien konfigurazio bat da, Kakeyaren multzoa izendatzen dena. Hodiak mugi daitezke, baina ez biratu. Helburua da ahalik eta gainjartze handiena duen konfigurazioa osatzea.
#/media/File:Hong_Wang_(%E7%8E%8B%E8%99%B9)_-_Q103368586.jpg){kind=link}
Gehien gainjartzen den Kakeyaren multzoak ere espazioa hartzen du, Feffermanen deskubrimenduen arabera. Gutxieneko bolumen hori hodien lodieraren araberakoa da. Matematikariek kuantifikatu egiten dute hodien lodieraren eta multzoaren bolumenaren arteko harremana Minkowski-ren dimentsioa izeneko zenbaki baten bidez. Zenbat eta txikiagoa izan Minkowskiren dimentsioa, orduan eta gehiago murritz daiteke multzoaren bolumena, hodiak pixka bat estututa.
Kakeyaren hiru dimentsioko aieruak ezartzen du multzo baten Minkowskiren dimentsioa hiru izan behar dela. Harreman hori oso ahula da: hodien lodiera erdira murrizten baldin bada, adibidez, soilik ezabatuko da bolumenaren zati txiki bat gehienez.
Hala ere, murrizketa txikiena ere frogatzea ia ezinezkoa izan zen.
Urratsez urrats
2022an, Kakeyaren aieru modernoa formulatu eta bost hamarkada geroago, Wangek eta Zahlek aurrerapauso nabarmena eman zuten. Katzek eta Terence Taok 2014an diseinatutako programa bati jarraituz, Kakeyaren multzoen mota arazotsu bat aztertu zuten. Frogapenak erakutsi zuen mota zehatz horretako multzo bakoitzak hiruko dimentsio bat zeukala. (Frogapena aplikatzen zaio bai Minkowskiren dimentsioari bai hari estuki lotutako beste kontzeptu bati, Hausdorff-en dimentsioari). Multzo arazotsu hori alde batera utzita, frogatu behar zuten dimentsioa hiru zela Kakeyaren gainerako multzoetarako ere bai.
Haien ikuspegia zen urratsez urrats aurrera egitea. Hasteko, Minkowskiren dimentsioen tarte estu bat aztertuko zuten (adibidez, 2,5etik 2,6ra bitarteko tartea), eta frogatu nahi zuten Kakeyaren multzo bat ere ezin zela tarte horretan egon. Eta horixe bera frogatzea lortzen baldin bazuten tarte bakoitzean hirura iritsi arte, Kakeyaren aierua frogatzea lortuko zuten.
Zorionez, Wangek eta Zahlek ez zuten zerotik hasi behar izan. Izan ere, Tom Wolffek 1995ean frogatu zuen Kakeyaren hiru dimentsioko multzo batek ere ez duela 2,5etik beherako Hausdorffen edo Minkowskiren dimentsiorik. Hala ere, moduren bat aurkitu behar zuten frogatzeko 2,5 eta 2,500001 arteko dimentsio bat ere, adibidez, ezinezkoa zela. Eta, orduan, argudio hori errepikatu ahal izango zuten 2,500002ko muga bat lortzeko; eta horrela bata bestearen segidan. Aldi bakoitzean frogatuko lukete, funtsean, ez dagoela Kakeyaren multzorik gehikuntza txiki horren baitan.
Praktikan, ez zituzten milioika gehikuntza horiek banan-banan frogatu behar izan. Soilik frogatu behar zuten lehenengo gehikuntza, betiere frogatuta muga batek hurrengoa, pixka bat handiagoa dena, ere inplikatzen duela. Ondoren, frogatu behar zuten argudio horrek funtzionatzen zuela nondik hasten ziren aintzat hartu gabe. Hori guztia nahikoa litzateke frogatzeko tartea gehitzen joan daitekeela hirura iritsi arte.
Baina 2022an ez bezala, Katzen eta Taoren estrategia aplikatu zutenean, ez zuten ibilbide-orririk jarraitzeko. Pikortasun izeneko propietate berezi batera jo zuten orduan.
2014an, Larry Guthek, Massachusettseko Teknologia Institutuko (MIT) matematikariak, frogatu zuen Kakeyaren aieruaren kontradibide guztiek “pikortsuak” izan behar zutela. Multzo pikortsu batean hiru dimentsioko askotariko sekzio txikiak daude, non hodi asko gainjartzen diren. “Pikor” horietako bakoitzak hodi baten lodiera du, gutxi gorabehera, eta zenbait aldiz zabalagoa da, baina ez du hodiaren luzera; izan ere, hodi askok luzeka ebakitzen dute.
Wang eta Zahl ohartu ziren hodiak alde batera utzi eta soilagoak diren pikor horiekin lan egin zezaketela. Eta deskubritu zuten errazagoa zela pikorrak gainjartzeko askotariko moduak zenbatu eta kalkulatzea.
Pikor guztiek gehieneko gainjartzea lortzeko konspiratzen zuten kasuetan ere, deskubritu zuten puntu jakin batean elkar ebakitzen zuten pikorren kopuruak ezin zuela handiegia izan. 2,5eko mugatik aurrera, frogatu ahal izan zuten pikorrak ezin zirela nahikoa gainjarri muga horretatik pixka bat goragoko dimentsio bat sortzeko adina. Ondoren, gehieneko muga horretatik abiatuta, frogatu zuten urrats konputazional berdinak aplika litzatekeela muga are gehiago handitzeko. Eta horrela, hurrenez hurren.
«Etengabeko mugimenduko makina bat perfekzionatzearen antzekoa da. Magia hutsa», komentatu du Taok. «Gehiago lortzen da irteeran sarreran baino». Haren makinak hiruko Minkowskiren (eta Hausdorffen) dimentsio batera eraman zituen, Kakeyaren hiru dimentsioko aierua frogatuta.
Ametsen dorrea
Aierua ebatzi izanak errotiko aldaketa eragin du analisi harmonikoaren esparruan, zeinetan Fourierren transformatuaren xehetasunak aztertzen diren.
Analisi harmonikoko hiru aieru monumentalen dorre bat Kakeyaren aieruan oinarritzen da. Dorrearen solairu bakoitzak sendoa izan behar du gainerako solairuek arrakastarako aukerak izan ditzaten. Kakeyaren aierua faltsua izan balitz —hau da, Wangek eta Zahlek kontradibide bat aurkitu izan balute—, dorrea eraitsiko litzateke.
Baina aierua frogatu ondoren, matematikariek dorrean gora egiteko aukera izan zezaketen, Kakeya erabiliz gero eta handinahiagoak diren aieruen frogapenak eraikitzeko. «[Matematikariek] egunen batean ebatzi nahi lituzketen problema horiek guztiak orain abordagarriak direla dirudi», komentatu du Guthek.
Eta prozesua abian da jada. Wangek duela gutxi idatzi du kideren batekin beste artikulu bat, non dorrearen aierua Kakeyaren aieruaren bertsio sendoago batera sinplifikatzen duen; bi mailen arteko konexiorako urratsa da.
Eta salto dimentsionala ere bada matematiken esparru oso horrentzat, orain arte 2D-an geratuta zegoena. «Jendeak oso ondo ulertzen zuen zer gertatzen den bi dimentsiotan [Kakeyari lotutako problemetan], baina ez geneukan tresnarik hortik goragoko dimentsioak ikertzeko», azaldu du Wangek. «Horregatik diot beharrezkoa zela. Egin behar zen».
Kakeyaren lau dimentsioko aierua irekita dago, bai eta haren gaineko lau dimentsioko aieruen dorrea ere. Zailtasun berriak sortuko dira, Guthen aburuz, baina uste du bitik hiru dimentsiorako saltoa zela zailena, eta litekeena dela Wangen eta Zahlen frogapena dorre horretara eta hartatik harago egokitu ahal izatea.
“Gaztea nintzela, Kakeyaren problemarekin gogoberotu nintzen; hain zen sinplea eta geometrikoa, non harritu egin ninduen haren zailtasunak”, kontatu du Guthek. Urte batzuk geroago, Wang, doktoregoko bere ikaslea, soiltasun engainagarri horrekin maitemindu zen ere bai.
“Bistara ditzakezun gauza zehatzak ditu. Ez da beste teoria matematiko batzuk bezain beldurgarria”, komentatu du Wangek. “Soilik ulertu nahi nuen zergatik ote den zaila”.
Orain, Wangen eta Zahlen ahaleginei esker, inoiz baino hurbilago gaude hori ulertzetik. «Benetan uste dut eremua erabat eraldatu dezaketen ideien masa kritiko bat dagoela hemendik abiatuta», esan du Hickmanek. «Une oso-oso zirraragarria da».
Jatorrizko artikulua:
Joseph Howlett (2025). ‘Once in a Century’ Proof Settles Math’s Kakeya Conjecture, Quanta Magazine, 2025eko martxoaren 14a. Quanta Magazine aldizkariaren baimenarekin berrinprimatua.