Paper-txoriak tolestea, dirudien baino konplexuagoa

Jose Ignacio Royo Prieto

Non eta UPV/EHUko Miguel de Unamuno Ikastetxe Nagusiko blasoian ikus daiteke paper-txori bat, Bizkaiko Arbola eta unibertsitateko ikurrarekin batera. Hauxe da arrazoia: idazle eta filosofo bilbotarrak (Migel Unamunokoak, berak bere euskarazko olerkietan sinatu zuen legez [1]) papiroflexia zuen zaletasun maitatu eta errespetatua.

“Cocotología” da berak sortu zuen neologismoa papiroflexia adierazteko (cocotte=paper-txoria, frantsesez). “Amor y pedagogía” bere liburuaren eranskinean, “Apuntes sobre un manual de cocotología” titulupean, Unamunok, ironiaz blai, ikerketa proiektu “handi” baten plangintza deskribatzen du, paper-txoriaren geometria, angeluak, eta, bidenabar, sexua, adina eta beste hainbat propietate bitxi ikertzeko. Horren bidez, kritikatu nahi zituen ikertzaile faltsuek (“investigacionistas, que no investigadores”, bere berbetan) mami handirik gabe argitaratzen dituzten ikerketa-proiektu handinahiak.

Gaur egun, harrituta geratuko litzateke, duda barik, Unamuno papiroflexiaren garapena, eta azken hamarkadetan zientzia eta teknologian sortu duen interesa ikusita. Alde batetik, papiroflexia (edo munduan zehar japonieraz ezagutzen den origami) praktikatzen duten artistek metodo matematikoak erabiltzen dituzte dinosauro, zaldi, ikosaedro, marisorgin eta dragoiak sortzeko [2]. Bestalde, paper-tolestaketaren prozesu fisikoak hainbat aplikazio interesgarri sortu ditu teknologiarako. Esate baterako, papiroflexia teknikak eta tolestaketaren modelizazioa eraginkorrak gertatu dira medikuntzan (papiroflexiazko stent), espazioko zientzian (miura-ori teknikaren bidez diseinaturiko eguzki-panelak, espaziora eramangarriak!) eta industrian (airbagak tolesteko ereduak simulatzeko). Amaitzeko, papiroflexian oinarria duten hainbat problema praktiko-teoriko ikertzen dira gaur egun, bai matematika hutsean (e.g. Galois teorian, ikusi liburuko 10.3 atala [3]) bai aplikatuan (e.g. origami konputazionala).

Ikerketa jarduera horren egungo garapen eta hedapena antzeman dezakegu OSME kongresuen bidez (OSME= Origami Science Math & Education), bertan mundu osoan zeharreko origami-ikertzaileek haien emaitzak elkartzen baitituzte. Gehienek unibertsitate edo zentro teknologikoetan lan egiten dute, esate baterako, MITen. Seigarren OSME iaz izan zen, eta aktak AMS (American Mathematical Society) erakunde entzutetsuak argitaratuko ditu, Origami⁶ izenburuaz, bi aleko formatuan. Lehen alearen edukia matematikakoa izango da, soilik. Bigarrena, aldiz, teknologia, ingeniaritza eta hezkuntza esparruetan datza.

Figura lauen tolestaketa (flat folding), origami konputazionala eta grafo-teoriaren artean sailka daiteke. Figura hauen propietateak grinaz ikasi dira azken hamarkadetan, OSME guztien aktetan ikus daitekeen legez (bilatu flat hitza 6OSMEko hitzaldien laburpenetan). Figura lau bat liburu baten orrien artean sartu ostean, liburua itxi daiteke figuran tolestura berririk eragin gabe (figuraren paperaren lodiera nulua dela suposatuz, noski). Aurretik aipaturiko paper-txoria dugu adibide bat.

Papiroflexiazko edozein figura zabaltzen badugu guztiz, markaz beteriko karratu bat lortuko genuke, marka-mapa izenekoa (crease pattern edo CP, origamiren arloan). Tolestura laguntzaileak ez dira kontuan hartzen: behin-betiko figuran tolestuta daudenek bakarrik osatzen dute marka-mapa. Figura lau baten marka-mapak baditu hainbat propietate interesgarri (ikusi liburuko 20., 21. eta 22. jarduerak [4]), grafo-teoriaren lengoaiaz adierazita.

Alderantzizko bidea askoz konplexuagoa da: marka-mapa bat emanda, esan al dezakegu ea figura lau bat zabalduz lortzen den? Beste berba batzuetan: a priori eman al ditzakegu baldintza nahikoak marka-mapa bat lau tolestu daitekeela bermatzeko?

Lau tolesgarritasunaren problema da, hori (flat foldability problem, literaturan), eta konpondu gabeko problema bat da, egun. Are gehiago, konputazio-teoria erabiliz, Bern eta Hayesek frogatu zuten [5] problema hori NP-zaila dela (NP-hard); konputazio-teoriaren arabera, horrek esan nahi du benetan gogorra dela.

Aurkituko bagenu marka-mapak lau tolesgarriak diren ala ez zehazten duen algoritmo eraginkor bat (denbora laburrean egiten duena), orduan ondorioztatuko genuke problema hori P sailekoa dela, eta bidenabar, P versus NP problema ospetsua ebatziko genuke. Hona hemen enuntziatu laburtua: makina batek problema baten soluzioa egiazta badezake denbora laburrean, ebatz al dezake problema hori denbora laburrean ere? Konputazio-zientzian konpondu gabeko problema garrantzitsuenetariko bat da. Beraz, Clay Institutuak milioi bat dolarreko saria eskaini du ebazten duen lehenengoarentzat.

Hala ere, ikerketa horren garrantzia ez da teoria hutsezkoa. Papiroflexiako pausuak ordenagailu baten bidez simulatzetik oso urrun gaude, egun. Beraz, urrats bakoitzean paperezko geruzen banaketa zehaztea nahiko zaila gertatzen da, konbinatoriaren ikuspuntutik. Nahiko lagungarria gertatuko litzateke marka-mapak ondo ulertzea, eta lau tolesgarriak diren ala ez esateko algoritmo eraginkor bat izatea.

Laburbilduz (harira), milioi bat dolarreko sari hori sakelaratzeko, edozein marka-mapa lau tolesteko era eraginkor bat aurkitu besterik ez duzu egin behar. Zeren zain zaude? Paper bat hartu, eta hasi tolesten eta pentsatzen!

Oharrak:
[1] X. Kintana, Unamuno y el euskara”, in Don Miguel de Unamuno en el Colegio Mayor, Euskal Herriko Unibertsitateko Argitalpen Zerbitzua, Bilbao, 1999, 39-56. orr.
[2] R.J. Lang, Origami Design Secrets – 2nd edition. CRC Press, 2011.
[3] D.A. Cox, Galois theory, Wiley Interscience, 2004.
[4] T. Hull, Project Origami – Activities for exploring mathematics – 2nd edition. AKPeters/CRC Press, 2012.
[5] M. Bern, B. Hayes, The complexity of flat Origami, Proceedings of the 7th Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (1996) 175-183.

Egileaz: José Ignacio Royo Prieto matematikaria da eta UPV/EHUko Matematika Aplikatua saileko kidea.