Ariketa fisikoa egitea osasungarria dela esaten digute behin eta berriro. Fisikoa bakarrik ez, buruari eragitea ere onuragarria da. Nagiak atera eta aurten ere, udako oporretan egiteko asteazkenero ariketa matematiko bat izango duzue, Javier Duoandikoetxea matematikariak aukeratu ditu Zientzia Kaieran argitaratzeko. Guztira sei ariketa izango dira.
Hona hemen gure hirugarren ariketa:
Zenbaki arrunt bati ezkerreko lehen zifra ezabatuta lortzen den zenbakia aurrerakoaren 29rena da (aurrekoa zati 29). Zein da propietate hori duen zenbakirik txikiena?
Zein da erantzuna? Idatzi emaitza iruzkinen atalean (artikuluaren behealdean daukazu) eta, nahi izanez gero, zehaztu jarraitu duzun ebazpidea ere. Irailean emaitza zuzenaren berri emango dizugu.
Ariketak “Calendrier Mathématique 2024. Un défi quotidien” egutegitik hartuta daude. Astelehenetik ostiralera, egun bakoitzean ariketa bat proposatzen du egutegiak. Ostiralero CNRS blogeko Défis du Calendrier Mathématique atalean aste horretako ariketa bat aurki daiteke.
5 iruzkinak
Zenbaki arruntaren ezkerreko lehen zenbakiari X deituko diogu, eta gainerako zifrei (zenbat zifra izango dituen ez dakigunez) Y izango da.
Egiaztatu ondoren bi zifretako 29ko multiploko zenbaki arrunt batek ere ez duela gure ariketa betetzen, hiru zifrarekin probatu dugu.
Gure X eta Y-rekin enuntziatua azaltzeko, honako hau litzateke:
(100X+Y)/29 = Y
X bakantzen badugu, hau geratzen da:
X = 28Y/100 edo X = 7Y/25
25 zatitzen dituen zenbaki arrunt baxuena 25 da; beraz, Y = 25
X = 7·25/25
X = 7
Bilatzen genuen zenbakia 725 da.
Kaixo!
Onartzen dut ariketa ulertzea asko kosta zaidala, baina ulertu dudala uste dut. Ondo egin ote dudan, hori beste kontu bat da.
Zenbaki bat bilatzen dugu zeinari lehen zifra kentzen badiogu 29 aldiz txikiago den zenbaki bat lortzen dugun. Hori kalkulatzeko formula bat erabili dut, baikorra izanda hiru zifretakoa izango dela:
100X+10Y+Z=(10Y+Z)*29 , non X, Y eta Z 0-9 artekoak diren.
100X=28*(10Y+Z)
X=28*(10Y+Z)/100=7*(10Y+Z)/25
10Y+Z 25 lortzeko, Y=2 eta Z=5, ondorioz, X=7
Hortaz, bilatzen den zenbakia 725 da. (725 = 25 * 29)
Ondo izan!
Ariketa interesgarria benetan. Lehenik bi zifretako zenbaki batean pentsatu dut baina ez zait atera eta utzi egin dut. Hiru zifrako zenbaki batekin. Demagun hiru zifrako zenbaki hau;
XYZ=100X+10Y+Z
Lehen zifra ezabatuta;
YZ=10Y+Z
Orduan; 29=(100X+10Y+Z)/(10Y+Z). Gauzak errezteko A=10Y+Z, ondorioz, 29=(100X+A)/A=29
100X+A=29A, 100X=28A. A=100X/28
Jakina X=Y=Z={1,2,3,4,5,6,7,8,9} (0 baloreak 0 emango luke eta ez dator bat ariketak eman behar duen ondorioekin)
Jakina baita ere X, Y, Z zenbaki osoak izan behar direla. Kalkulagailuan azaltzen zaidan ondorengo egoki bakarra da X=7, honek ematen du A=25, berez Y=2 eta Z=5. Ateratzen zaidan ondorioa da;
XYZ=725
YZ=75
(XYZ)/(YZ)=725/25=29
Bilatzen dugun zenbakiak eta ezkerreko zifra kenduta duenak zifra bakarra dute desberdin, ezabatutakoa hain zuzen ere.
Adibidez:
abc eta bc (azalpenak emateko erabiliko dudan aukera)
Gainera, zifra bat gutxiago duena bider 29 egitean lortutako zenbakiak ez du zifren balioetan aldaketarik izango, ezkerrean sortuko den zifra bakarra izango da salbuespena.
Hau da:
bc•29=abc
Hortaz, 29rekin bidertzean azken zifra berdina izateko bc zenbakiak 0 edo 5 amaiera izango du halabeharrez.
Aukerak asko murriztu ditugu aurrekoak kontuan hartuta.
Aukerak bc zenbakiarentzat, zifra gutxien erabiliz:
> 5 zenbakiak ez du betetzen.
5•29=145, bi zifra gehiago dituelako.
> 10 zenbakiak ere ez.
10•29=290, azken bi zifrak ez direlako 10.
> 15 zenbakiak ere ez.
15•29=435, azken bi zifralk ez direlako 15.
> 20 zenbakiak ere ez.
20•29=580, azken zifrak ez dira 20.
> 25 zenbakiak bai, betetzen du.
25•29=725, azken zifrak 25 dira.
Lortu dugu eskatutako zenbakirik txikiena:
725
Hurrengo proposamenaren zain,
ondo ibili!
Ane
Kaixo,
hemen doa nire ebazpena:
Bilatzen dugun zenbakia ezin da bi zifrakoa izan. Gutxienez hiru zifra izan behar ditu.
Demagun hiru zifrakoa dela: [abc]
Ehunekoen zifra ezabatuz: [bc]
Problemaren enuntziatuaren arabera:
[abc] = 29·[bc]
100a + 1ob + c = 29(10b + c)
100a + 1ob + c = 290b + 29c
100a = 280b + 28c
zati 4 bi aldeetan,
25a = 70b + 7c
25a = 7(10b + c)
25 ez da 7ren multiploa, beraz:
a = 7 eta 10b + c = 25–> [bc] = 25
Azkenik,
[abc] = 725
Orokorrean, n>2 zifrako zenbaki baterako berdin jokatuz zera egiazta daiteke:
Ezkerreko zifra 7 da eta ondorengoak 10^(n-1)/4 = (100/4)·10^(n-3) = 25·10^(n-3)
3 zifra: 725 = 29·25
4 zifra: 7250 = 29·250
5 zifra: 72500 = 29·2500
6 zifra: 725000 = 29·25000
….
Orduan, txikiena 725.
Eskerrik asko! Ondo izan!