Kointzidentzia-karten jokoa Pierre Rémond de Montmortek (1678-1719) enuntziatu zuen lehen aldiz 1708an, Jeu du Treize izenarekin. Karta frantsesekin jokatzen da, 4 koloretako 13 kartarekin (52 karta).
Jokalari kopurua nahi den edozein da, eta batek eskuarena egiten du. Eskuak, kartak zoriz nahastu ondoren, bata bestearen ondotik botatzen ditu ‘bat’ izendatuz eta ahoskatuz lehen karta botatzen duenean, ‘bi’ bigarren karta botatzen duenean, ‘hiru’ hirugarrena botatzen duenean, eta horrela ‘erregea’ den hamahirugarreneraino. Orduan, karta-segida honetan guztian ez badu bat bera ere bota izendatu dituen mailaren arabera, jokalari bakoitzari mahai-jokoan jarri duena ordaintzen dio. Baina hamahiru karta horien segidan, adibidez, ‘bat’ izendatzen duenean bateko bat botatzen badu eskuak, edo biko bat ‘bi’ izendatzen duen unean, edo hiruko bat ‘hiru’ izendatzen duen unean, eta abar, mahai-jokoan dagoen guztia hartzen du.
Jokoa matematikoki aztertzearren, edozein jokalari kopuru bat baino, bi jokalari besterik ez dira hartzen kontuan: A (eskua) eta B (beste jokalaria). Gainera, eskuak 1etik n-ra zenbakituak dauden n karta, gehienez, botatzen ditu, 13 karta bota ordez. Jokoa ebaztea galdera honi erantzuna ematea da: zein da jokalari bakoitzak duen irabazteko probabilitatea?
Erantzuna da A jokalariak irabazteko 0.6321 probabilitatea duela, eta B jokalariak 0.3679.
Matematikari askok egin diote aurre problema honi, eta ohikoa bihurtu da probabilitate-kalkuluaren testuetan. Jokoaren ebazpena konbinatorian eta probabilitate-kalkuluan dago oinarrituta. Idazlan honetan testu horietan azaltzen den soluziobideaz gain, beste bi soluziobide ematen dira, eta bakoitzaren ezaugarriak adierazten.
Lehendabizikoa simulazio-prozesu bat da. Probabilitate-kalkulua ezagutu gabe, baina programatzeko gaitasuna izanda, erantzun bat eman dakioke galderari, praktikoki nahi bezain zehatza. Konputagailu baten bitartez n tamainako hainbat permutazio (N) sortzen dira zori hutsez (n tamainako permutazio guztiek gertatzeko probabilitate berdina izanda), eta horietako bakoitzean kointzidentzia kopurua zenbatzen da. Bilatutako probabilitateak kointzidentzia kopuruaren maiztasunen bidez zenbatesten dira.
Bigarrena behaketa-prozesu bat da. n bakoitzerako permutazio guztiak sortzen dira, eta horietako bakoitzean kointzidentzia kopurua (k) zenbatzen da (honetarako ere, n txikia ez denean, konputagailu bat eta programa informatiko bat ezinbestekoak dira). Horrela osatzen da T(n,k) izeneko taula bat. Taulari begira, zenbakien arteko zenbait erlazio behatzen dira, galderari erantzun bat ematen diotenak.
Hirugarrena, konbinatoriako barneratze-kanporatze erregela delakoan oinarritutako bide analitikoa da. Hauxe da probabilitate-kalkuluari buruzko ohiko testuetan azaltzen den arrazoibidea.
Lehenengo bi soluziobideak matematika esperimentalari dagozkio, eta emaitzak indukzioz lortu dira. Biak dira ibiltzeko errazak, eta beren ahalmenak adierazten ditut. Idazlan honen ikuspegi nagusia osatzen dute.
Idazlana bukatzeko hiru soluziobideei buruzko zenbait iruzkin azaltzen ditut. Alde batetik, esperimentazioaren bitartez lortutako zenbait formulen egiazkotasuna azaltzen dut konbinatoriaren arrazoibidea erabiliz. Bestetik, hiru soluziobideen arteko loturak aztertzen ditut.
Bukatzeko, emaitzak lortzeko bideen inguruko zenbait iruzkin egiten ditut. Konputagailuen bitartez lortutako emaitzak (enpirikoak, nolabait esateko) ez daude matematikoki frogatuta, baina simulazioaren emaitzak bi jokalariek duten irabazteko probabilitateak iradokitzen ditu, eta taularen behaketek formula sakon pare bat iradokitzen dute. Begien aurrean irudi bat edo formula bat edukita, modu esperimentalean bada ere, adierazpen konbinatorio bat ematea ez da oso zaila izaten (nahikoa izaten da formula hausnartzearekin), baina beste gauza bat da hasieratik arrazoibide konbinatorio bat soilik erabiliz formula batera iristea. Horretan datza da esperimentazioaren indarra.
Matematiketan esperimentalki jokatzea ohikoa da, baina testu akademiko gehienetan ez da inoiz alderdi hau erakusten (asmatze prozesua ezkutatua izan ohi da). Halako testuetan, Euklides-en bideari jarraiki, lortutako erlazioen egia dedukzioz frogatu behar da, erakutsi gabe nola bururatu den erlazioa. Matematiketan bi alderdiak dira beharrezkoak, induktiboa eta deduktiboa.
Artikuluaren fitxa:
- Aldizkaria: Ekaia
- Zenbakia: 46
- Artikuluaren izena: Kointzidentzien jokoaren azterketa bat
- Laburpena: Kointzidentzien jokoa lehendabizikoz Pierre Rémond de Montmort-ek (1678-1719) enuntziatu zuen 1708an ‘Jeu du Treize’ izenarekin. Jokoaren ebazpena konbinatorian eta probabilitate-kalkuluan dago oinarrituta. Idazlan honetan hiru soluziobide ematen dira, eta bakoitzaren ezaugarriak adierazten. Lehenengo biak matematika esperimentalei dagozkie.
- Egilea: Yosu Yurramendi Mendizabal
- Argitaletxea: UPV/EHUko argitalpen zerbitzua
- ISSN: 0214-9001
- eISSN: 2444-3255
- Orrialdeak: 109-128
- DOI: 10.1387/ekaia.25706
Egileaz:
Yosu Yurramendi Mendizabal UPV/EHUko Informatika fakultateko Konputazio Zientziak eta Adimen Artifiziala Saileko ikertzailea da.
Ekaia aldizkariarekin lankidetzan egindako atala.
