Ariketa fisikoa egitea osasungarria dela esaten digute behin eta berriro. Fisikoa bakarrik ez, buruari eragitea ere onuragarria da. Nagiak atera eta aurten ere, hamar urte betetzen dituen ohiturarekin jarraituz, udako oporretan egiteko ostiralero matematika-ariketa bat izango duzue. Javier Duoandikoetxea matematikariak guztira sei ariketa aukeratu ditu Zientzia Kaieran argitaratzeko.
Hona hemen gure lehenengo ariketa:
Ane eta beste bederatzi lagun mahai baten bueltan jarrita daude. Bakoitzak zenbaki bat pentsatu du eta alboko lagun biei isilean esan die. Ondoren, bakoitzak boz goraz esan du bere alboko bien zenbakien batezbestekoa. Ane hasi da eta 10 esan du. Haren ezkerrekoak 9 esan du eta, ezkerrerantz jarraituz, hurrengoak 8, gero 7, eta horrela, beti bat gutxiago, Aneren eskuineko lagunak 1 esan duen arte. Zein da Anek pentsatu duen zenbakia?
Zein da erantzuna? Idatzi emaitza iruzkinen atalean (artikuluaren behealdean daukazu) eta, nahi izanez gero, zehaztu jarraitu duzun ebazpidea ere. Irailean emaitza zuzenaren berri emango dizugu.
Ariketak “Calendrier Mathématique 2025” egutegitik hartuta daude. Astelehenetik ostiralera, egun bakoitzean ariketa bat proposatzen du egutegiak. Ostiralero CNRS blogeko Défis du Calendrier Mathématique atalean aste horretako ariketa bat aurki daiteke.
5 iruzkinak
Arratxalde on;
Beroa, egun luzeak eta dozena erdi ariketa udarako. Dudarik ez, udara iritxi zaigu.
Ez dakit zuzen ibili naizen hala ez, baina honako arrazonamendua jarraitu dut. Lagun bakoitzari letra bat eman diot A tik J ra, non A Ane den, eta bere inguruko kideak J eta B diren. Datu hoiekin 10 ekuazioko sistema bat osatu dut, eta honekin itxura honetako matrize bat osatu dut;
0100000001
1010000000
0101000000
0010100000
0001010000
0000101000
0000010100
0000001010
0000000101
Non matrize honen determinantea =-4
Nolatan problemaren enuntziatuak dioen norberak esaten duena ondoan dituen bi lagunen batazbestekoa den (hauxe da media aritmetikoa), Anek ba dio 10, honek esan nahi du (J+B)/2=10 edo J+B=20
Ordun ondorengo guztiak dira (20,18,16,14,12,10,8,6,4 eta 2) matrize horren lenengo zutabearen baloreak hauexegatik aldatzen ba ditugu, orduan lortzen dugun matrizearen determinantea da -20, zatitzen badugu -20/-4=5. Orduan Anek pentsatutako zenbakia da A=5, eta prozedura berbera jarraituz gainontzeko partaideek (A tik J raino) honako zenbakiak pentsatu dituzte; {A=5,B=14,C=13,D=2,E=1,F=10,G=9,H=-2,I=-3, eta J=6}, oker ez ba nago niri ekuazio guztiak ondorengo zuzena eman didate.
Hurrengo arte eta ondo segi.
Erantzuna emanez hasiko naiz; izan ere, Ane dut izena eta badakit zein zenbaki pentsatu dudan: 5.
Lagunak identifikatzeko a1, a2, a3… eta a10 kodeak erabili ditut, eta Ane a1 dela pentsatuko dugu.
Horiek horrela, erraz idatziko ditugu honako ekuazio hauek:
a10 + a2 = 20 a1 + a9 = 2
a10 + a8 = 2 a9 + a7 = 6
a8 + a6 = 8 a7 + a5 = 10
a6 + a4 = 12 a5 + a3 = 14
a4 + a2 = 16 a3 + a1 = 18
Bi bloketan banatu ditut, bakoitiak eta bikoitiak bereiziz, ebazpena sinpleagoa izan dadin.
Lehen blokean, hasierako bi ekuazioak hartuko ditugu eta kendu. Orduan → a2 – a8 = 18
Lortutako ekuazioa blokeko 3. ekuazioarekin batuz → a2 + a6 = 24
Horri blokeko 4. ekuazioa kenduz → a2 – a4 = 12
Azkenik, aurreko ekuazioa eta blokeko azkena batuta → 2·a2 = 28
Ondorioz, a2 = 14
Horrenbestez, a4 = 2 a6 = 10 a8 = -2 eta a10 = 6
Berdin jokatuko dugu bigarren blokeko ekuazioekin, eta erraz lortuko ditugu emaitza hauek:
a3 = 13 a1 = 5 a7= 9 eta a9 = -3
Emaitzok ariketak ezarritakoak betetzen dituzte, eta Anek 5 zenbakia pentsatu du.
Oharra: 8. eta 9. lagunek zenbaki negatiboak pentsatu izana polita izan da, ohiko jokabidea apurtu dute eta!
Ekuazioak blokeetan banatu ditut, baina argitaratzean edizioa nahasi samarra geratu da. Pena!
Honela hobeto ulertuko da.
Lehen blokea:
a10 + a2 = 20
a10 + a8 = 2
a8 + a6 = 8
a6 + a4 = 12
a4 + a2 = 16
Bigarren blokea:
a1 + a9 = 2
a9 + a7 = 6
a7 + a5 = 10
a5 + a3 = 14
a3 + a1 = 18
Parkatuuu!
Nabari da oporrak direla, transkribatzean akatsak egin ditut…
a10 + a8 = 4
a2 – a8 = 16
Ontzat hartuko duzue?
Oporretako nagaiak kenduta, burua martan berriz. Hemen doa nire proposamena.
Anek eta Iñakik ebazpen polita bidali digute. Nirea ildo beretik doa, beraz, ez dago erkarpen berezirik nire proposamenean.
Anek esandako batez bestekoa 10 denez, Anek pentsatutako zenbakiari X10 (X azpi 10) deituko diogu. Bere ezkerreko lagunaren zenbakiari X9, eta horrela jarraituta, X8, X7,…, X1.
Lagun bakoitzak entzun dituen bi zenbakien batura, bi zenbaki horien batez bestekoaren bikoitza denez, ondorengo hamar ekuazio hauek idatz ditzakegu:
1. X1+X9=20 2. X8+X10=18
3. X7+X9=16 4. X6+X8=14
5. X5+X7=12 6. X4+X6=10
7. X3+X5=8 8. X2+X4=6
9. X1+X3=4 10. X10+X2=2
Bigarren ekuazioa ken laugarrena gehi seigarrena ken zortzigarrena gehi hamargarrena eginez; hau da, 2. – 4. + 6. – 8. + 10. , Aneren zenbakia lortzen da: 2·X10 = 10 —>> X10 = 5
Beraz, 5 da Aneren zenbakia.
Antzera jokatuz beste ekuazioekin, lagun bakoitzaren zenbakia lor dezakegu:
X1=6, X2=-3, X3=-2, X4=9, X5=10, X6=1, X7=2, X8=13, X9=14 eta X10=5
Hasiera batean, ekuazio-sistema Gaussen metodoaz ebatzi dut (ikusi dudanez, Iñakik Cramerren metodoa erabili du). Gero konturatu naiz ekuazio egokiak aukeratuta eta kenketa eta batuketak erabiliz, zuzenean buruz kalkula daitezkela zenbaki guztiak. Posizio bakoitiko balioak ekuazio bakoitiak erabiliz, errotatuz eta (-,+,-,+) eginez eta zati 2. Era berean, posizio bikoitikoekin (funtsean, Gaussen metodoa da):
X1 = (20-16+12-8+4)/2 = 6 (1., 3., 5., 7., 9. ekuazioetatik) X10 = (18-14+10-6+2)/2= 5 (2., 4., 6., 8., 10. ekuazioetatik)
X9 = (16-12+8-4+20)/2 = 14 (3., 5., 7., 9., 1. ) X8 = (14-10+6-2+18)/2= 13 (4., 6., 8., 10., 2.)
X7 = (12-8+4-20+16)/2= 2 (5., 7., 9., 1., 3.) X6 = (10-6+2-18+14)/2= 1 (6., 8., 10., 2., 4.)
X5 = (8-4+20-16+12)/2= 10 (7., 9., 1., 3., 5.) X4 = (6-2+18-14+10)/2= 9 (8., 10., 2., 4., 6.)
X3 = (4-20+16-12+8)/2= -2 (9., 1., 3., 5., 7.) X2 = (2-18+14-10+6)/2= -3 (10., 2., 4., 6., 8.)
Aurki arte!