Abokatu okzitaniar baten ondarea

Javier Duoandikoetxea

Urtero bezala, aurten ere Oslo galaz jantzi zen maiatzean Abel sariaren emate-ekitaldia ospatzeko. Une nagusia maiatzaren 24an izan zen, egun horretan hartu baitzuen Andrew Wiles matematikari britaniarrak 2016ko Abel saria Haakon Printzearen eskutik.

Cambridge, 1993ko ekainaren 23a

Andrew Wiles bere hiru hitzaldiko zikloa amaitzen ari zen egun horretan Cambridgen. Aurretik egindakoaren ondorio zen enuntziatu bat arbelean idatzi eta “uste dut honekin amaituko dudala” esan zuen. Jende andana zegoen aretoan eta denek gertaera historiko baten lekuko izango zirela sumatzen zuten. Txalo zaparrada batek agurtu zuen hizlaria eta norbaitek egindako argazkia hurrengo eguneko hedabide askotan agertu zen. Ez zen gutxiagorako! Hiru mende eta erdi lehenago hasitako bide baten amaiera zen eta ohi ez duen arreta piztu zuen matematikak une batez. Andrew Wiles matematikaren historiara iritsi zen.

Pierre de Fermat

Okzitaniako Tolosako Parlamentuan egiten zuen lan Pierre de Fermat abokatuak (1601-1665), baina, harrigarria badirudi ere, matematikaren historian utzi zuen bere arrastoa eta ez legeen munduan. Kalkulu infinitesimalaren kontzeptu batzuk asmatzen aitzindari izan zen, probabilitateen kalkuluan aritu zen, eta badugu optikan Fermaten printzipioa ere, baina gehienbat gaur egun zenbaki-teoria deitzen dugun arloa izan zen haren benetako pasioa. Esan daiteke Fermatek sortu zuela zenbaki-teoria modernoa.

Adiskide batzuei idatzi zizkien gutunen bidez heldu zaigu Fermaten lanen berri. Eta horiez gain, liburu baten orrietan idatzitako oharretatik. Liburu hori III. mendean Diofanto greziarrak idatzitako Aritmetika zen, latinez argitaratua 1621ean. Fermat hil eta gero, haren seme batek berriro argitaratu zuen liburua, aitaren ohar haiez osatuta.

Fermatek lortu zituen emaitza batzuk froga matematikorik gabe utzi zizkigun, baina denak, bat izan ezik, frogatuta geratu ziren XVIII. mendean. Frogarik ez zuen hari Fermaten azken teorema deitu zioten, baina benetan teorema izateko oinarrizko urratsa falta zuen: froga bat. Ikus dezagun zer den teorema hori.

Diofantoren liburuaren atal batean hirukote pitagorikoak, hau da, a²+b²=c²erlazioa betetzen duten zenbaki osoak, aztertzen dira —baita guztiz deskribatu ere—. Adibidez, 3²+4²=5² eta 5²+12²=13² direnez, (3,4,5) eta (5,12,13) hirukote pitagorikoak dira[1]. Karratuak hartu beharrean, beste berretzaile bat hartuta ere halako hirukoteak egongo dira? Galdera hori bururatu zitzaion Fermati. Hau utzi zuen idatzita Diofantoren liburuan:

Ezinezkoa da kubo bat bi kubotan banatzea, edo laugarren berretura bat laugarren berreturatan, edo oro har, bigarrena baino handiagoa den edozein berretura beste bi berretura berdinetan. Honen froga benetan harrigarri bat aurkitu dut, baina liburu-ertz hau txikiegia da bertan kabitzeko.

Bestela esanda, Fermaten arabera, aⁿ+bⁿ=cⁿ ekuazioak ez du soluziorik, n bi baino handiagoa bada eta a, b eta c, zenbaki arruntak badira.

Hiru mendeko ibilbidea

Leonhard Euler handia izan zen Fermaten problemari lehen erantzunak emateko gai, n=3 eta n=4 kasuetarako frogak lortuz. Bigarrena Fermatek berak asmaturiko bide bat erabiliz egin zuen: jaitsiera infinituaren metodoa.

XIX. mendearen hasieran ez zen n-ren beste ezein baliotarako froga ezagutzen[2]. Emakume matematikari urrien artean punta-puntakoa izan zen Sophie Germain matematikari frantsesari zor diogu problemari aurre egiteko bide berri bat (1815). Ez zuen froga osorik lortu, baina lagundu egin zuen hurrengo urratsetan. Hala ere, astiro etorri zen aurrerapena, eta XIX. mendearen lehen erdian n=5 (1828) eta n=7 (1839) kasuak baino ez zitzaizkien gehitu Eulerrek frogatutakoei.

Aurrerapenik handiena Ernst Kummer alemaniarrari zor diogu. Idealak izeneko objektu matematikoak asmatu zituen eta horiekin lortu zuen Fermaten teoremaren froga n-ren balio askotarako. Esaterako, 37, 59 eta 67 balioak bakarrik geratu zitzaizkion frogatzeke 100 baino txikiagoen artean.

Urteak joan, urteak etorri, ez zirudien problemak ebazteko bidea hartzen zuenik eta esan liteke bigarren plano batera pasatu zela. Sariak eskaini ziren: Frantziako Zientzia Akademiarena eta Bruselako Akademiarena, esaterako. Handiena Paul Wolfskhel alemaniarrak eskaini zuen 1905ean: 100 000 marko, diru asko garai hartarako. Geroko inflazioak, hala ere, asko jaitsarazi zuen sariaren balioa. Baina sariek ere ez zuten ekarri inoren arrakastarik.

Norabide aldaketa

Matematikako arlo batek kurba eliptikoak izeneko objektuak aztertzen ditu. Izenak besterik iradoki dezakeen arren, kurba horiek ez dira elipseak. Kurba eliptikoek ez zuten Fermaten problemarekin erlaziorik, itxuraz behintzat. Haien azterketan, 1955ean aieru bat formulatu zen, alorreko adituek Taniyama-Shimura aierua izenarekin ezagutzen zutena. Teoria horretan ari zirenak ez ziren ari Fermaten azken teoremaren frogaren bila. Harik eta 1984an Gerard Frey alemaniarrak iradoki arte Taniyama-Shimura aierua betetzen bazen, Fermaten teorema ere betetzen zela. Laster heldu ziren erlazio hori zehaztera eta Fermaten problemari ekiteko beste bide bat sortu zen.

Hor agertu zen Andrew Wiles. Kurba eliptikoen arloa oso ezaguna zitzaion eta buru-belarri ekin zion aierua frogatzeari. Zazpi urte eman zituen ahaleginean, bakarrik gehienetan, diotenez. Gutxi batzuek baino ez zekiten zein zen haren denbora guztia hartzen zuen egitasmoa. Wilesek ez zuen Taniyama-Shimura aieruaren froga osoa lortu, baina haren emaitza partziala nahikoa zen Fermaten teorema ondorioztatzeko. Horixe izan zen Cambridgen 1993ko arratsalde hartan jendaurrean azaldu zuena. Harrezkero, Fermat-Wiles teorema dugu, teorema izateko eskubide guztia irabazita.

Dena esateko, Wilesen hasierako poza lausotu egin zen hilabete batzuk beranduago. Haren lana aztertzen ari zirela, zulo bat aurkitu zioten. Zulo batek ez zuen erabat froga zakarrontzira botatzen, baina urratsen bat justifikatu barik zegoela erakusten zuen eta zalantzan uzten zuen, zuloa estaltzeko zubia jartzen ez zen bitartean. Isilpeko lanetik irten eta bere arrakasta jendaurrean erakutsi ondoren, imajinatzekoa da zer sentimendu sor ziezaiokeen Wilesi dena pikutara joateko arriskuak. Buru-belarri jarri zen lanean Richard Taylor ikasle ohiarekin eta, zorionez, hilabete batzuen buruan arazoa konpondu zuten. Orduan bai, Wiles “Matematikaren Olinpora” sartu zen onespen guztiekin.

Matematikari atipikoa

Wiles Oxfordeko Unibertsitateko ikaslea izan zen eta Cambridgen doktoratu zen. Harvardetik pasatu eta gero, Princetonera joan zen irakasle, katedra bat lortuta. Princeton Unibertsitatea munduko onenetakoa da matematikaren arloan eta errekonozimendu handia izan zen hori Wiles gaztearentzat. Ibilbide bikaina eta arrakastatsua egina zuen ordura arte. Artikulu gutxi idatzi zituen, baina denak aldizkari ospetsuetan argitaratu ziren.

Taniyama-Shimura aieruari denbora osoa dedikatzea erabaki zuenean, ordea, arrisku handiko bidea hartu zuen, publish or perish lema hain errotuta duen sistema batean. Are urriagoak bilakatu ziren haren artikuluak eta hori kezka-iturri izango zen unibertsitateko agintarientzat.

Bide arriskutsua zen, inondik inora, Wilesena. Dedikazio osoa helburu batean jarrita, gerta ziezaiokeen helmugara ez heltzea edo, agian txarrago dena, beste bat lehenago ailegatzea. Hala gertatuz gero, ezin izango zuen bere eginkizuna justifikatu sistema akademikoaren aurrean. Ez zen ordea halakorik jazo eta amaiera zoriontsua izan zuen haren apustuak.

Sari ugari hartu zituen Wilesek hurrengo urteetan eta aurten eman dioten Abel sariak gorengo mailara igo du berriro. Produkzio matematiko urria du eta oso bakanak dira Wilesen artikuluak aldizkarietan. Baina dagoeneko ez du kezkatzeko arrazoirik, inork ez baitio ezer gehiagorik eskatuko.

Eta Fermaten froga harrigarria?

Aspalditik ez du ofizioko inork sinesten Fermatek froga harrigarri bat zuenik. Gehienez ere, n=4 kasurako egingo zuen froga, edo sumatu, baina inondik inora n orokorrerako. Gainera, liburuko ohar horretaz gain ez dago emaitzaren aipamenik, ez Fermaten eskutitzetan ez eta utzitako paperetan ere.

Sari deigarriak eta problemaren itxura xaloak erakarrita, amateurren soluzio ugari agertu ziren —beti okerrak, noski— eta oraindik ere agertzen dira. Esaten denez, Fermatena da matematikaren historian froga faltsu gehien bildu dituen baieztapena. Egile horietako askok pentsatuko dute badela matematikari profesionalei ihes egin dien bide harrigarriren bat. Problemaren ibilbidea ikusita, ez dago batere arrazoirik ezusteko baten zain egoteko.

Oharrak

[1] Erraza da ulertzea zergatik deitzen diren pitagorikoak: Pitagorasen teoremaren baldintza betetzen dutelako, a eta b kateto modura eta c hipotenusa modura hartuta.

[2] Balio baterako frogatuz gero, haren multiploetarako ere frogatuta geratzen da. Horregatik, n=4 eta n zenbaki lehen bakoitia denean bakarrik egin behar da froga.

---

Egileaz: Javier Duoandikoetxea Analisi Matematikoko Katedraduna da UPV/EHUn.