Matematikaren ziurgabetasuna: Jarraituaren Hipotesia

Javier Canto

Ezagutza zehatza eta ziurra dela esan ohi da matematikari buruz. Teorema matematikoak egiazkoak dira, haien frogapena ezaguna delako. Hala ere, baieztapen matematiko batzuk ez dira ez egiazkoak ez gezurrezkoak. Sarrera honetan azalduko dugu nola den posible baieztapen bat ez izatea ez egiazkoa ez gezurrezkoa, eta halako baieztapen baten adibidea emango dugu.

Ziurgabetasun egoera hau ulertu ahal izateko, matematikaren oinarrietara jo behar dugu, multzo-teoriara bereziki. Multzo-teoria XIX. mendearen bukaeran jaio zen, Georg Cantor matematikariaren eskutik. Cantorrek multzoaren definizio intuitiboa eman zuen: Cantorren arabera, multzo bat elementuen bildura bat da. Matematikako objektu gehienak multzo bezala ikus daitezke. Adibidez, zenbaki arruntek (1, 2, 3, 4…) multzo bat osatzen dute; triangelu bat planoko puntuen multzo gisa uler daiteke. Multzo bat infinitua ala finitua izan daiteke, bere barnean dauden elementuen kopuruaren arabera. Adibidez, zenbaki arrunten multzoa infinitua da, eta triangelu baten erpinek multzo finitu bat osatzen dute, hiru elementukoa. Badago elementurik ez duen multzoa: multzo hutsa deritzo.

Zoritxarrez, Cantorrek emandako definizio intuitiboak arazo larri bat dauka, kontraesan bat duelako bere baitan. Bertrand Russellek 1901. urtean topatu zuen arazo hau, eta gaur egun Rusellen Paradoxa deritzo. Fenomeno hau ulertzeko, adibide argigarri bat emango dugu.

Rusellen Paradoxaren adibidea

Demagun herri txiki batean ile-apaintzaile bakarra dagoela, Peio izenekoa. Peiok herriko biztanle batzuei ilea mozten die, baina ez guztiei. Bakarrik bere buruari ilea mozten ez diotenei mozten die ilea Peiok. Egoera honen aurrean galdera bat sortzen zaigu: Peiok bere buruari ilea mozten al dio? Erantzunak aldi berean baiezkoa eta ezezkoa izan behar du. Baiezkoa bada, hots, Peiok bere buruari ilea mozten badio, orduan ezin dio bere buruari ilea moztu. Eta, alderantziz, ez badio bere buruari ilea mozten, bere buruari ilea moztu behar dio. Laburbilduz, Peiok bere buruari ilea mozten dio baldin eta soilik baldin ez badio bere buruari ilea mozten.

Itzul dezagun problema hau multzo-teoriaren hizkuntzara. Kasu honetan, herria multzoen unibertsoa da eta biztanleak multzoak dira. Batek ilea bere buruari moztea multzoa bere buruaren elementua izateari dagokio kasu honetan. Izan bedi M multzoa non M-ren elementuak bere burua barnean ez duten multzoak diren. Honela definituta, M M-ren elementua al da?. Ile-apaintzailearen adibidean bezala, erantzuna honako kontraesana da: M M-ren elementua da baldin eta soilik baldin M ez bada M-ren elementua.

Rusellen Paradoxak agerian uzten du funtsezkoa dela multzoaren definizio egoki bat hartzea. Bestela, matematika guztiak ez luke zentzurik izango, kontraesanak ezin ditugulako onartu! Aurreko mendearen hasieran, multzo-teoriaren oinarriak ondo finkatu ziren, gaur egun erabiltzen dugun sistema axiomatikoa sortuz. Sistema hau Zermelo-Frankelen sistema deitzen da, bi matematikariek 1930eko hamarkadan egindako garapenen omenez.

Axiomak

Zer da sistema axiomatiko bat? Axioma bat a priori egiazkotzat hartuko dugun baieztapen bat da, hots, garatu beharreko teoriaren oinarri bat. Axiometatik abiatuta, eta arrazoinamendu logikoei jarraituz, beste baieztapen batzuk egingo ditugu. Lortutako baieztapen berriei teorema deritze. Sistema axiomatiko bat axioma kopuru finitu batez osatuta dago eta ez darama kontraesan batera.

Multzo-teoria estandarra hamar axiomaz osatuta dago. Horietako axioma bat “osagairik gabeko multzo bat existitzen da” baieztapena da, eta normalean existentziaren axioma deitzen da axioma hau. Axioma hauek multzoen oinarrizko propietateak deskribatzen dituzte, bai eta multzoak elkarren artean erlazionatzen diren modua ere. Teoria estandarra osatzen duten axiomei ZF edo ZFC axiomak deritze. Z eta F letrak Zermelo eta Frankelen omenez erabiltzen dira, baina C letra aukeraren axioma (ingeleraz, axiom of choice) erabiltzen dugunean jartzen den letra da. Sistema axiomatiko honen ezaugarririk garrantzitsuena hau da: ezin da kontraesanik lortu teoria honetan. Hau da, axioma hauetatik abiatuta, ezinezkoa da baieztapen bat aldi berean egiazkoa eta gezurrezkoa dela frogatzea.

ZF edo ZFC axiometatik abiatuta, eta arrazoinamendu logikoari jarraituz, ondo lor daitezke matematika estandarraren teorema guztiak. Esaterako, hor ditugu Aritmetikaren Oinarrizko Teorema -zenbaki guztiak lehenen biderketa dira, era bakarrean- edo Euklidesen Teorema -infinitu zenbaki lehen daude-.

Orduan, zergatik ez da kontraesana Russellen paradoxa ZF axiometan? Teoria honetan, ezin da multzoen multzo arbitrario bat hartu, multzoak osatzeko era jakin bat dago. Adibidez, multzo guztien bildura hartzen badugu, objektu hori ez da multzo bat, klase bat baizik. Gauza bera gertatzen da bere barnean ez dagoen multzoen bilduraren kasuan. Beraz, kontraesanera eramaten gaituen objektua ez da multzo bat eta, hortaz, teoriatik kanpo gelditzen da. Horregatik ez du arazorik sortzen.

Jarraituaren Hipotesia

Teoria axiomatiko honetan kontraesanik ez badago ere, badaude beste baieztapen batzuk, teoriaren hizkuntzan idatz daitezkeenak, baina teoriaren kanpo geratzen direnak. Hau da, ezin da frogatu baieztapen hauek egiazkoak diren edo ez. Honen adibide bat dugu Jarraituaren Hipotesia, zenbaki arrunten eta errealen kardinalari buruz egiten duen baieztapena.

Multzo baten kardinala era formal eta zehatzean definitzea ez da gauza erraza. Horretarako multzo-teoriaren teknizismo abstraktu eta nahiko korapilatsuak erabili behar dira. Hala ere, ideia intuitiboa oso naturala da: multzo baten kardinala multzoa osatzen duten elementuen kopurua da. Multzo finituen kasuan, kardinala zenbaki bat da. Adibidez, multzo hutsaren kardinala zero da, eta triangelu baten erpinen multzoaren kardinala hiru da. Multzo infinituen kasuan, ez da hain erraza multzoen kardinala zein den esatea.

Ezaguna da multzo infinituak direla bai zenbaki arruntak -kontatzeko erabiltzen ditugunak (1, 2, 3…) eta bai zenbaki errealak -era hamartarrean idatzi ahal direnak (infinitu digitu dezimalekoak)-.

Baina ez dira infinitu kopuru berdina, errealen kopurua arruntena baino askoz handiagoa baita. Beste era batera esanda, zenbaki arrunten kardinala zenbaki errealena baino hertsiki txikiagoa da. Cantorrek frogatu zuen bi kardinal hauen arteko desberdintasuna oso froga dotorea emanez, Cantorren argumentu diagonal izenekoa.

Arrunten kardinala infinitu zenbakigarria deitzen da, infinitua izan arren nolabait zenbatu dezakegulako. Errealen kardinala, berriz, infinitu jarraitua deitzen da. Izen hau dauka zenbaki errealak, irudikatzeko askotan zuzen jarraitu bat erabilzen delako, zuzen erreala hain zuzen.

Honela dio Jarraituaren Hipotesiak:

“Inongo multzok ez du zenbaki arruntena baino kardinal hertsiki handiagoa eta zenbaki errealena baino kardinal hertsiki txikiagoa”.

Hipotesi hau Cantorrek proposatu zuen, eta hainbat saiakera egin zituen frogatzeko. 1940. urtean, Kurt Gödel matematikariak frogatu zuen hipotesia ezin dela gezurtatu, hau da, ezin dela frogatu errealen eta arrunten artean dagoen multzo bat existitzen denik, kardinalari dagokionez. Azkenean, 1963an Paul Cohenek frogatu zuen hipotesia ezin dela frogatu, hau da, errealen eta arrunten artean dagoen multzo horren existentzia ezin dela gezurtatu. Horrela guztiz frogatuta dago Jarraituaren Hipotesia ZF axiomekiko independentea dela, ezin dela ez egia ez gezurra izan.

Egileaz: Javier Canto Llorente matematikaria da eta Basque Center for Applied Mathematics (BCAM) ikerketa-zentroko ikertzailea.