Zenbaki lehenei buruzko frogapen berri batek argitu egin du batuketaren eta biderketaren arteko erlazio sotila, eta abc aieru ospetsuan aurrerapausoak emateko itxaropena areagotu du.
Azken azaroko goiz batean, Héctor Pastén matematikariak azkenean lortu zuen hamarkada bat baino gehiagoz lantzen aritu den problema ebaztea. Horretarako, oso ezaguna den produktibitate trikimailu bat erabili zuen: prokrastinazioa.
Santiagoko (Txile) Pontificia Universidad Católica unibertsitateko zenbakien teoriaren klaserako azken azterketa idatzi behar zuen. Hori egitea saihesteko, bere segida gogokoenetako bat ekarri zuen burura enegarren aldiz: 2, 5, 10, 17, 26 eta horrela etengabe, n2 + 1 formako (n zenbaki osoa izanik) zenbaki guztien zerrenda osatu arte.
Matematikariek mende bat baino gehiago daramate segida hori erabiltzen batuketaren eta biderketaren arteko erlazio konplexua ikertzeko; izan ere, tentsio hori zenbakien teoriaren muin-muinean dago. Biderketari buruzko problema funtsezkoenak (adibidez, nola faktorizatzen diren zenbakiak lehenetan) askoz ere sakon eta zailagoak bihurtzen dira bat‑batean, batuketa tartean sartzen denean. Matematikaren galdera ireki handienetako bat da, adibidez, ea 2 baino handiagoa den zenbaki bikoiti oro bi zenbaki lehenen batura den; beste galdera da ea 2 zenbakiko aldea bakarrik duten lehen pareak (adibidez, 11 eta 13) infinituak diren.
Segida hori, n2 + 1, abiapuntu egokia da batuketaren eta biderketaren arteko erlazioa ikertzeko; izan ere, biderketa mota sinpleenetako bat barne hartzen du (zenbakia ber bi egitea), eta baita batuketa mota sinpleenetako bat ere (1 batzea). Horrek ez du esan nahi segida bera sinplea denik. Matematikariek oraingoz ezin diete erantzun segida horri buruzko oinarrizko galderei; adibidez, zenbaki lehen infinituak barne hartzen dituen. “Ez da askorik behar gure ezagutzaren mugara iristeko”, adierazi du Montrealgo Unibertsitateko Andrew Granvillek. Matematikariek muga hori pixka bat lekualdatzea lortzen dutenean –gutxi bada ere–, garatzen dituzten teknikek batuketari eta biderketari buruzko auzi askoz ere zabalagoak argitzen dituzte askotan.
Pasténen asmoa zen frogatzea segidako zenbakiek beti izan behar dutela nahiko handia den faktore lehen bat gutxienez. Azken azterketa prestatzen aritu behar zuen goiz hartan, lortu zuen azkenik deskribatzea nola txertatu n2 + 1 formulako faktore lehenak kurba eliptikoa izeneko ekuazio baten egituran.
Egun horretan, bazkalorduan, frogapena deskribatu zion bere emazteari, Natalia García-Fritz matematikariari. Emaitza hain sendoa zela ikusita, “askotan egiaztatu behako nukeela esan zidan”, kontatu du Pastének. “Horixe egin nuen arratsalde horretan, eta teoremek hor jarraitzen zuten”.
Arazo bakarra zegoen: Pastének ez zeukan ikasleei egiteko azterketarik prestatuta. Nahi zuten gaiari buruzko saiakera bat idazteko eskatu zien. Haren hitzetan, “kalitate handiko lanak egin zituzten”.
Pastének Inventiones Mathematicae aldizkarira bidali zuen bere frogapena. Aldizkari hori matematikaren arloko argitalpenik garrantzitsuena da eta hilabete pasatxoko epean onartua izan zen (oso azkar, arlo horretako argitalpenen estandarrak kontuan hartuta). “Aurrerapen garrantzitsua da ia 100 urtean aurrerapen handirik izan ez duen gai batean”, aipatu zuen Waterlooko Unibertsitateko Cameron Stewartek. Matematikariek espero dute horri esker erlazionatutako zenbaki segidetan ere aurrerapenak egitea.
Pasténen teknikak aukera eman zion abc aieruaren kasu jakin batzuetan aurrera egiteko. Aieru hori ere batuketaren eta biderketaren arteko interakzioari buruzkoa da, eta matematikaren arloan ebatzi gabe dagoen problema ospetsu eta polemikoenetako bat da. “Arlo honetan atera diren ideiak berriak (zuzenak direnak) oso gutxi izan dira”, idatzi zuen Granvillek mezu elektroniko batean. “Merezi du arreta eskaintzea, bere metodoen originaltasuna eta promesak direla eta”.
Zenbaki lehen handiak
Zenbaki segida bat gero eta handiagoa egiteak ez du bermatzen haren faktore lehen handienek gauza bera egitea. Har dezagun n2 segida: 1, 4, 9, 16, etab. Erraza da sekuentzia honetan faktore lehen txikiak dituzten zenbakiak aurkitzea. Adibidez, zerrenda honetako 2 zenbakiaren edozein berreturak (4, 16, 64, 256, 1024…) faktore lehen bakarra du: 2.
Baina segida horri 1 gehitzen diogunean, faktore lehenei buruz “lehendik geneukan informazio guztia erabat suntsitzen da”, dio Pastének. “Zenbaki lehenak oso modu bitxian portatzen dira”.
1898an, Carl Størmerrek hau frogatu zuen: n2 segidan ez bezala, n2+ 1 segidako faktore lehen handienak infinitura gerturatzen dira n handitzen doan heinean. Aurkikuntza horrek frogatu zuen “interesgarria den zerbait gertatzen ari dela, ezohikoa den zerbait”, azaldu zuen Stewartek.
Baina Størmerrek ezin izan zuen zehaztu zenbateko abiaduran hazten diren n2 + 1 segidako faktore lehen handienak, eta hori da hurrengo urrats naturala segidaren portaeraren ezaugarriak zehazteko prozesuan.
Segidako zenbakiak kalkulatzen hasiz gero, badirudi gehienek gutxienez faktore lehen oso handi bat dutela. Baina noizbehinka beherakada handia gertatzen da. Adibidez, segidako 586.034.187.508.450 zenbakiaren faktore lehena 67.749.617.053 da. Alabaina, segidako hurrengo zenbakiaren (586.034.235.924.737) faktore lehen handiena 89 baino ez da. Salbuespen horiek eragiten dute problema hain zaila izatea.
1930eko hamarkadaren erdialdera, Sarvadaman Chowla eta Kurt Mahlerrek hau frogatu zuten beren kabuz: n-ren edozein baliotarako, n2+ 1 segidaren faktore lehen handienak log(log n) bezain handia izan behar du gutxienez. Baina log(log n) oso-oso motel hazten da (grafiko batean islatzen badugu, lehen begiratuan planoa dirudi). Matematikariek susmoa zuten n2 + 1 segidako faktore lehen handiena berez askoz ere azkarrago hazten dela, baina ez zuten lortzen hori frogatzea.
2001ean, Hong Kongeko Zientzia eta Teknologia Unibertsitateko Stewart eta Kunrui Yuk ikuspegi berri bat garatu zuten segidetako faktore lehenak aztertzeko, “transzendentziaren teoria” deituriko matematikaren arlo bat erabiliz. Bi urte beranduago, Julien Haristoyk bere metodoa n2 + 1 segidari nola aplikatu deskubritu zuen, eta pixka bat hobetu zuen Chowla eta Mahlerren emaitza.
Baina ordutik gaia geldirik zegoen. “Aspalditik behar genuen osagai berri bat”, adierazi zuen Granvillek.
Berretzaile txikiak
Pastének hamarkada bat baino gehiago darama osagai berri hori lantzen. 2012an, Kingstoneko (Ontario) Queen’s University unibertsitateko graduondoko ikaslea zela, bere zuzendari Ram Murtyk proposatu zion batuketaren eta biderketaren arteko interakzioa aztertzen duten problemetan zentratu zedila.
Zenbakien teorialariek interakzio hori aztertzeko erabiltzen duten tresnarik eraginkorrenetako bat da zenbakiak kurba eliptiko deituriko ekuazio batean kodetzea. Adibidez, zenbakiak ekuazioaren ebazpen gisa ager daitezke, edo erlazionatutako kalkulu batean (diskriminatzaile deiturikoa). Kodeketa egokiarekin, matematikariek kurba eliptikoen egitura aberatsa aprobetxatu dezakete, eta horrekin lotutako objektu matematikoak erabili, hala nola forma modularrak. “Forma modular horiek erabil daitezkeen bakoitzean, zeinen inguruan teoria zoragarri oso bat dagoen, informazio asko eskuratzen da”, azaldu du Paris Cité Unibertsitateko Marc Hindryk.
Urteek aurrera egin ahala, Pastének forma modularrak eta erlazionatutako entitateak –“Shimuraren kurbak” izenekoak– biltzen zituen teoria berri bat garatu zuen, eta horrek aukera eman zion Murtyk planteatutako zalantzetako asko lantzeko. “Baina ezin izan nuen aurrerapenik egin n2+ 1 probleman, batere ez”, kontatu zuen. “Horrek ondoeza sorrarazi zidan urte askotan”.
Pastének ikasleentzako azterketa idatzi behar zuen azaroko goiz hartan, n2+ 1 problema ihesbide bat izan zen, zentzu askotan. Urte horren hasieran Pasténen aita hil zen, eta matematika baliatu zuen behin baino gehiagotan kontsolamendu gisa. “Asko lagundu zidan”, azaldu du. “Matematika ez da teoremak frogatzea bakarrik; errealitatearekin elkarreraginean egoteko modu bat ere izan daiteke”.
Pasténi zailegia iruditzen zitzaion n2+ 1 segidako faktore lehenen gaineko kontrol zuzena eskuratzea; beraz, aspalditik arreta jarria zuen eraso zeharkakoago batean: zenbaki lehenen faktorizazioan berretzaileen gaineko kontrola lortzea. Zenbaki handi bat faktorizatzen ari bagara, berretzaile handietara jasotako zenbaki lehen txikiak izan daitezke, edo berretzaile txikietara jasotako zenbaki lehen handiak. Baina ezinezkoa da berretzaile txikietara jasotako zenbaki lehen txikiak izatea, horren emaitza ez bailitzateke behar besteko handia izango. Horrenbestez, berretzaileak txikiak direla froga badezakegu, zenbaki lehenetako bat gutxienez handia izango da, eta horixe da hain zuzen Pastének frogatu nahi zuena.
Pastén bere arbelean idatzita zituen aurreko eguneko kalkulu batzuei begira zegoen, eta bat-batean konturatu zen n2+ 1 segidaren faktorizazio leheneko berretzaileak kontrolatu ahal izango zituela, kurba eliptiko mota egokia sortuta. Zenbait esperimentu egin ondoren, aurkitu zuen bat: y2 = x3 + 3x + 2n ekuazioa, zeinaren diskriminatzailea n2+ 1 bider −108ko faktore bat baita.
Shimuraren kurben teoria kurba eliptiko zehatz horri aplikatuta, frogatu ahal izan zuen n2+ 1 segidako berretzaileen emaitzak nahiko txikia izan behar duela. Horrek ez du esan nahi berretzaile guztiek txikiak izan behar dutenik, baina horien gaineko behar adinako kontrola eskuratu zuen Stewart eta Yuren transzendentziaren teoriaren metodo zaharra aplikatu ahal izateko. Bi teknikak batera erabiltzean, frogatu ahal izan zuen n2+ 1 segidaren faktore lehen handienak gutxi gorabehera (log(log n))2 izan behar duela; alegia, Chowlak eta Mahlerrek 1930ean deskubritu zuten estimazioaren karratua. Pasténen hazkuntza tasa berria aurreko errekorra baino askoz ere altuagoa da, eta hala ere matematikariek susmoa dute benetako hazkuntza tasa are handiagoa dela.
Dena den, “nabarmentzeko moduko hobekuntza da”, adierazi zuen Hindryk.
Pastének bere teknikak erabili ahal izan zituen, halaber, abc aieruko kasu jakin batzuetarako kalkuluak hobetzeko. Horren arabera, hiru zenbaki oso –a, b eta c (faktore lehenak partekatzen ez dituztenak)– bat baldin badatoz a + b = c ekuazioarekin, beren faktore lehenen biderkadurak handia izan behar du c-rekin alderatuta. Aieru hori, zenbakien teoriako garrantzitsuenetakoa, eztabaidagai izan da hamarkada oso batez; izan ere, Shinichi Mochizukik baieztatzen du frogatu duela, baina matematikarien komunitateko kide gehienak ez daude ados. Pasténen lanak ikuspegi guztiz desberdina ematen dio problemari. Emaitza aieru konplexu hori frogatzetik urrun badago ere, neurri batzuen arabera azken hamarkadetan egindako lehen aurrerapen garrantzitsua da. «Uste dut abc aierua geldirik dagoen kontua dela», aipatzen du Granvillek.
Duela 90 urte Chowlak eta Mahlerrek beren muga proposatu zutenetik, matematikariek muga bera ezarri zuten pixkanaka erlazionatutako segiden familia infinitu batentzat, hala nola n2 + 3 edo n5 + 2. Gerta daiteke ikertzaileak gauza bera egiten saiatzea Pasténen muga berriarekin, eta aldi berean haren metodoaren adarrak esploratzea batuketaren eta biderketaren interfazean dauden beste problema batzuentzat. “Eraso honen berritasuna” dela eta, ikuspuntu zirraragarri bat sortu dela adierazi du Harvard Unibertsitateko Barry Mazurrek.
Zaila da azterketa horiek zer ondorio izango dituzten aurresatea. “Hori da originaltasunaren arazoa”, aipatu du Granvillek. Baina “argi dago lortu zuena oso ona dela”.
Jatorrizko artikulua:
Erica Klarreich (2024). Big Advance on Simple-Sounding Math Problem Was a Century in the Making, Quanta Magazine, 2024ko urriaren 14a. Quanta Magazine aldizkariaren baimenarekin berrinprimatua.