Bikiak zenbaki lehenen familian

Javier Duoandikoetxea

“Hasieran zenbakia zen eta zenbakia matematika egin zen”. Matematikaren historia baterako aurreneko hitzak izan daitezke hauek. Mende asko joan diren arren eta matematikak garapen eta aldaketa izugarria jaso duen arren, zenbakia da oraindik ere matematikaren oinarrizko tresna. Tresna ez ezik, ofizioz edo afizioz matematikaren inguruan ari direnen artean “jostailu” ere badira zenbakiak, lilura sortzen duten galderak egiteko balio duen jostailua.

Bada zenbakien artean jolaserako aukera ugari ematen dituen familia bat: zenbaki lehenak. Zergatik? Agian, Paul Erdös matematikariak esan zuenez, zenbaki lehenen gainean “nagusientzat erantzun ezinak diren galderak egin ditzaketelako umeek”. Horietako batekin nator gaur.

Gogora dezagun zenbaki txikiagoak biderkatuz ezin lor daitezkeenak direla zenbaki lehenak. Horrela, 35 ez da lehena, 5×7 delako, baina 17 bada lehena. (Ez dugu 1 zenbaki lehentzat hartzen, baina horrek ez du hemen garrantzirik.) Hauek dira 500etik behera dauden zenbaki lehenak:

Eskolan irakatsi ziguten zerrenda hori lortzen: idatzi zenbaki guztiak (500eraino gure kasuan) eta kendu 2ren multiploak lehenengo, 3ren multiploak gero, 5enak ondoren eta abar (Eratostenesen bahea). Zerrenda luzeagoak ere egin daitezke horrela, astia eta pazientzia nahikoa izanez gero. Egia esan, pazientzia lehenago behar zen, orain ordenadoreak hartu baitu pazientziaren lekua. Hori bai, ezin izango dugu zenbaki lehen guztien zerrenda egin, ez eskuz eta ez ordenadorez: duela 2400 urte inguru, Euklidesek Elementuak liburuan froga ezin ederragoaren bidez erakutsi zigun zerrenda hori ez dela amaitzen, hau da, infinitu zenbaki lehen daudela. (Euklidesen liburua euskaraz ere irakur daiteke, Patxi Angulok itzulita.)

Zenbaki lehenen zerrendari begiratu eta ematen du hor ez dagoela inolako egiturarik, zoriz hartutako zenbakiak dirudite. Bada, lan zinez ederra da zenbaki lehenen segidan propietateak bilatzea, matematikari ugariren jarduna historian zehar. Asko lortu den arren, “milioika urte igaroko dira zerbait ulertu baino lehen, eta orduan ere ez ditugu osorik ulertuko”, berriro Paul Erdösen hitzak ekarriz.

Zenbaki bikoiti bakar bat da lehena (2, hain zuzen ere) eta beste guztiak bakoitiak dira. Hauen arteko bi hartuta, beraz, bi unitateko distantzia egongo da gutxienez. Zenbaki lehenak izanda bi unitateko aldea duten bikoteei zenbaki lehen bikiak deritze. Adibidez, 500etik beherako lehenen zerrendatik hauek dira bikiak:

Orain dator umearen galdera xaloa: Zerrenda hori amaitzen da ala infinitua da? Eta nagusiaren erantzun etsia: Inork ez daki… Egia esan, baietz uste du mundu guztiak, segida infinitua dela, baina mendeak joan, mendeak etorri, frogarik gabe gaude oraindik. Hala ere, azken urtea joan eta gero, hobeto, esperantzari leiho bat zabalduz, erantzuna honela uzten badugu: Inork ez daki, oraingoz…

Yitang Tom Zhang 58 urteko matematikari txinatarra da. Matematika ikasketak Txinan egin ondoren, 1985ean, 30 urte zituela, Estatu Batuetako Purdue Unibertsitatera joan zen tesia egitera eta 1991n lortu zuen doktore titulua. Estatu Batuetan geratu zen eta, zenbait lan ezakademikotan ibili eta gero, 1999an New Hampshireko Unibertsitatean hartu zuten irakasle eta han jarraitzen du. Eskolak emateko irakasle soila da (Lecturer), ikerketa ardurarik gabe eta, horrenbestez, goi mailako postuetara biderik gabe. Duela urtebete inork ez zuen Zhang ezagutzen matematikaren munduan.

Azken urteotan baina, Zhang problema baten inguruan lanean aritu da. Joan den apirilean artikulu bat amaitu eta aldizkari batera bidali zuen, orain ohikoa den internet bidezko zabalpena egin barik. Ez zuen edozelango aldizkarira bideratu, ez horixe. Annals of Mathematics aukeratu zuen, ospe handienetakoa matematikan. Ezohiko epe laburrean jaso zuen onarpena, hilabete eskasean, eta orduantxe berria zabaldu eta testua denen eskura jarri zuen. Berehala hedatu zen notizia adituen artean eta Zenbaki-teoria izeneko matematikaren arloko historian kokatzeko modukoa iritzi zioten. Zer zen hain deigarri? Teorema honetara iritsi zen Zhang: infinitu aldiz gertatzen da zenbaki lehen biren arteko aldea 70 000 000 baino txikiagoa izatea. Baliteke matematikariek miresmenez hartu zuten emaitza horren aurrean irakurleak irrifarre maltzurra egitea –txantxetan ari naizelakoan–, edo amorruz hartzea –adar jotzen ari natzaiolakoan–: Matematikariek 2ko aldea nahiko luketen tokian 70 000 000 baino txikiago esan eta poztu egin behar gara? Ez txantxa ez adarjotzerik. Inork ez zekien zenbaki lehenen bikote zerrenda infinituak egin zitezkeen edo ez, bikote bakoitzeko elementuen arteko aldeari muga jarrita. Orain badakigu: infinitutik 70 000 000raino ekarri du muga Zhangek. Horra zergatik den nabarmentzekoa haren lana.

Hori guztia gertatu zenetik amets batean bizi da Yitang Zhang. Inork ezagutzen ez zuen matematikari xumea izatetik ospetsu bihurtzeraino –mundu txiki batean ospetsu– iragan da, eta ohoreak eta sariak heldu zaizkio:

• Hurrengo International Congress of Mathematicians delakoa (lau urterik behin egiten den mundu mailako kongresua) aurten izango da, Seoul ICM2014, eta Zhang hizlari gonbidatua izango da Zenbaki-teoria arloan;
• 2013 Morningside Special Achievement Award in Mathematics, 2013ko Ostrowski saria eta 2014ko Frank Nelson Cole saria eman dizkiote;
• katedradun izateko eskaintzak hartu omen ditu, bere unibertsitatetik eta beste batzuetatik.

Zhangen emaitza ez da hor gelditu. Haren lana eskuragarri egon zenetik batzuk konturatu ziren bazegoela bide bat 70 milioiko muga jaisteko. Etekin hobea ateratzeko internet bidezko lankidetza-proiektu ireki bat abian jarri zuten (Polymath izenez ezagutzen dira era horretako egitasmoak). Hasieran, ekaina aldera, egunetik egunera jaisten zihoan muga eta 4680ra heldu zen. Zhangen 70 milioiko mugarekin alderatuta, ez zegoen txarto eta bazirudien hor amaituko zela kontua.

Azaroan, ordea, James Maynard matematikari gaztea agertu zen beste artikulu batekin. Bertan, ideia berriak erabiliz, muga 600era ekartzea lortu zuen. Horrek aurreko lankidetza-proiektua biziberritu zuen, orain Polymath8b izena hartuta, eta lerro hauek idazteko orduan 270an dago goi muga hori: infinitu aldiz gertatzen da zenbaki lehen biren arteko aldea 270 baino txikiagoa izatea.

Ez dugu oraingoz teoremarik zenbaki lehen bikiak infinitu direla esateko eta, adituek diotenez, ez dirudi epe laburrean izango dugunik. Baina, bi mila eta laurehun urte igaro eta gero, inoiz ez dira problema horren inguruan Erdösen jaiotzaren mendeurrena ospatu dugun urtean egon diren tamainako aurrerapenak gertatu. Leiho bat esperantzari, beraz.

Egileaz: Javier Duoandikoetxea Analisi Matematikoko Katedraduna da UPV/EHUn.

Sarrera honek #KulturaZientifikoa 1. Jaialdian parte hartzen du.