Dozena erdi ariketa 2018ko udarako: erantzunak

Javier Duoandikoetxea

1. A eta B zenbaki arruntak dira. 10 zenbaki daude A baino handiagoak eta B baino txikiagoak direnak. 1000 zenbaki daude A² baino handiagoak eta B² baino txikiagoak direnak. Zenbat da B?

Erantzun guztiak zuzenak izan dira. B=A+11 eta B²=A²+1001 behar direnez, A=40 eta B=51 lortzen dira.

2. Irudiko karratuan 1etik 25erainoko zenbakiak ipini behar dira. Zenbaki bakoitza, 1 eta 2 izan ezik, auzoko biren batura izan behar da. (Auzokoak inguruan dituen zenbakiak dira: 1ek zortzi auzoko ditu, 25ek hiru ditu.)

Julenen erantzuna zuzena da. Iñakiren erantzunean, 11 eta 18 elkarrekin trukatuta daude. Honela geratzen da taula:

3. Zenbat modutan jar daitezke 1, 2, 4, 7 eta 9 zifrak 11ren multiplo den bost zifra desberdineko zenbaki bat lortzeko?

Ekhik du arrazoia eta ez Julenek. Toki bakoitietan dauden zifren baturari toki bikoitietan dauden zifren batura kenduta, 11ren multiploa lortu behar da (ez du zertan 0 izan). Hortaz, 9, 7 eta 1 doaz leku bakoitietan (6 aukera), eta 2 eta 4 toki bikoitietan (2 aukera). Denetara, 12 dira. Ekhik zerrenda osoa eman digu, gainera.

4. Zirkulu handiaren azalera 9 cm² Zein da zirkulu txikiarena?

Zuzen daude Luis Pedriniren eta Iñakiren erantzunak. Zirkulu txikiaren erradioa handienaren 2/3 da. Horren ondorioz, txikiaren azalera handienaren (2/3)² da, hots, 4 cm². Hona hemen bide bi erradioen erlazioa arrazoitzeko.

Lehen bidea:

ANM triangelua zuzena da (erradioa eta zuzen ukitzailea perpendikularrak dira). NAM angelua 30^o-koa da, beraz, AM=2NM. Eta NM=MB denez, MB=AB/3.

Bigarren bidea:

ACD triangelua aldeberdina da. M triangeluaren zentroa da. Beraz, MBren luzera AB altueraren 1/3 da.

5. Klub batean hiru arlo daude: atletismoa, igeriketa eta txirrindularitza. Hileko kuota 49 eurokoa da arlo bakarra egiten duenarentzat eta 40 euro arloko bi egiten dituenarentzat. Inork ez ditu hiruak egiten. Hileko sarrerak hauek dira: 1198 euro atletismoan, 1269 euro igeriketan eta 1572 euro txirrindularitza. Klubak 78 bazkide baditu, zenbat dira arlo bakoitzekoak?

Iñakiren erantzuna zuzena da.

Izan bedi x kirol bakarra egiten dutenen kopurua. Orduan, 78-x dira kirol bi egiten dutenak. Hortaz,

49 x + 80 (78 – x) = 1198 + 1269 + 1572 = 4039.

Hortik ateratzen dugu 71 direla kirol bakarra egiten dutenak eta 7 kirol bitan ari direnak.

Orain arloka jarraitu behar dugu. Izan bitez a₁ atletismoa bakarrik egiten dutenak eta a₂ atletismoaz gain beste arlo batean ari direnak. Orduan,

49 a₁ + 40 a₂ = 1198.

Ekuazio honek soluzio osoak behar ditu. Baturaren azken zifra 8 izan dadin, a₁ = 2, 12, 22… izan beharko da. Erraz ikusten da a₁ = 22 eta a₂ = 3 direla.

Era berean, b₁ badira igeriketa bakarrik egiten dutenak eta b₂ igeriketa eta beste arlo bat,

49 b₁ + 40 b₂ = 1269.

Orain, b₁ = 1, 11, 21… Hortik, b₁ = 21eta b₂ = 6 lortzen dira.

Azkenik, c₁ badira txirrindularitza bakarrik egiten dutenak eta b₂ txirrindularitza eta beste kirol bat,

49 c₁ + 40 c₂ = 1572.

Orain, c₁ = 8, 18, 28… eta, ondorioz, c₁ = 28 eta c₂ = 5 lortzen dira.

Galderaren erantzuna hau da: 25 atletismoan, 27 igeriketan eta 33 txirrindularitzan.

Oharra.- Berez, hasieran egin dugun kalkulua (zenbat ari diren kirol bakarrean eta zenbat bitan) ez da inon behar. Areago, ariketak ez balu esango 78 bazkide direla ere, lortu dugun soluzioa da posible den bakarra eta bazkide-kopurua 78 dela ondorio modura aterako genuke.

6. ABC triangeluaren azalera 12 cm² Baldin AN=NM=MC, XB=BM eta YB=BN badira, zein da XYCA laukiaren azalera?

Iñakik lortu duen azalera zuzena da, 32 cm², baina arrazonamendua ez da zuzena, ez baitago arrazoirik AC=AX izan dadin. Nahikoa litzateke irudia deformatzea horretaz konturatzeko.

AN=NM=MC denez, ANB, NMB eta MCB triangeluek azalera bera dute, 4 cm². XB=BM eta YB=BN direnez, NMB eta XYB triangeluak berdinak dira eta, gainera, NM eta XY paraleloak dira. Orduan, AXYN eta XYMC paralelogramoak dira. Ondorioz, irudiko triangelu guztien azalera 4 cm² da. Denetara, 32 cm².

Beste modu batez arrazoituta: AXM triangeluan, XB=BM denez, XBA eta ABM triangeluek azalera bera dute, 8 cm², beraz. Era berean, CYN triangeluari begiratuz, YBC eta NBC triangeluek ere azalera bera dutela ikusten da.

---

Egileaz: Javier Duoandikoetxea Analisi Matematikoko Katedraduna da UPV/EHUn.