Adarkatze prozesuak: nola modelizatu populazio bat belaunaldiz belaunaldi

Josu Doncel

Demagun familia-zuhaitz bat dugula: belaunaldi batetik hurrengora, pertsona bakoitzak 0, 1, 2, 3… ondorengo izan ditzake, eta kopuru hori ez da beti berdina: zoriak erabakitzen du. Horrelako zorizkotasuna izaten duen populazioaren tamaina aztertzeko adarkatze-prozesuak izeneko eredu matematikoak erabiltzen dira.

Adarkatze-prozesuak prozesu estokastikoak dira: belaunaldi bakoitzean, banako bakoitzak izango duen ondorengo kopurua zorizkoa da, eta belaunaldi berriak aurreko belaunalditik sortzen dira. Eredu sinple horiek, hala ere, oso baliagarriak dira fenomeno askoren dinamika ulertzeko: biologian (zelulen ugalketa edo espezie baten biziraupena), epidemiologian (kutsatze-kateak), fisikan (partikulen erauntsiak) edo informatikan (egitura edo algoritmoen hazkunde prozesuak).

Eredu matematiko horiek XIX. mendearen erdialdean sortu ziren. Izan ere, garai hartan galdera bitxi bat piztu zen Britainia Handiko aristokraziaren artean: belaunaldi bakoitzean seme kopurua aldakorra izanik, zein probabilitaterekin desagertuko zen familia bateko abizen bat? Sir Francis Galton-ek (1873) plazaratu zuen galdera, eta Henry W. Watson-ek eredu matematiko bat proposatu zuen. Ondoren, biek elkarrekin argitaratutako lanean gaur egun Galton–Watson prozesua deritzon eredua formalizatu zuten. Ideia antzekoak azaldu zituen lehenago ere Bienaymé matematikariak, eta, horregatik, batzuetan Bienaymé–Galton–Watson izendapena ere erabiltzen da.

Galton-Watson ereduaren oinarrizko osagaiak honako hauek dira:

• Hasierako populazioa: Z₀ = 1 (banako bakar batekin hasten da).
• Banako bakoitzak zorizko ondorengo kopuru bat sortzen du. X_n,k: zorizko aldagaiak adierazten duena.
• Belaunaldi bereko banakoen ondorengo kopuruak elkarrekiko independenteak dira, eta belaunaldiz belaunaldi “offsping distribution” bera erabiltzen da.
• Zₙ prozesuak n-garren belaunaldiko populazioaren tamaina adierazten du.

Modu formalean, n+1-garren belaunaldiko populazioaren tamaina honela idazten da:

Goiko formulak honako hau adierazten du: belaunaldi berriko populazioa aurreko belaunaldiko banakoek sortutako ondorengo guztien batura dela.

Honako adibide honek adarkatze-prozesu baten adibidea erakusten du. Bertan, ikusten da hasierako momentuan (0-garren belaunaldian) populazioaren tamaina bat dela. Aldiz, lehenengo belaunaldian hiru indibiduo daude; izan ere, hasierako momentuko banakoak hiru banakako izan ditu. Horregatik, Z₁=3 da. Orain, indibiduo bakoitzak ondorengo kopuru bat du hurrengo belaunaldian. Zehazki, lehenengo indibiduoaren ondorengo kopurua bi da (ohartu X_1,1=2 dela), bigarren indibiduoaren ondorengo kopurua bat da (ohartu X_1,2=1 dela) eta hirugarren indibiduoaren ondorengo kopurua hiru da (ohartu X_1,3=3 dela).

Eredu hauei dagokien galdera garrantzitsua populazioaren desagertzeari buruzkoa da. Izan ere, populazioa desagertzen da baldin eta uneren batean Zₙ = 0 gertatzen bada; behin zerora iritsita, hortik aurrera beti 0 izango da. Horregatik, desagerpen-gertaera honela definitzen da: existitzen da zenbaki natural bat n non Z_n=0 baita? Ohartuko gara, n-garren belaunaldirako Z_n=0 betetzen bada, orduan hurrengo belaunaldietako populazioaren tamaina zero izango dela; hau da, populazioa desagertu egin da. Populazioaren tamainaren probabilitatea e idazten da.

Orain arte esandakoa kontuan hartuz, honako galdera hau suertatzen da: nola kalkulatu e probabilitatearen balioa? Hori aztertzeko tresna klasikoa probabilitate funtzio sortzailea da. Jotzen badugu X zorizko aldagaia dela k non balioa hartzeko probabilitatea p_k baita, k=0,1,2… izanik. Probabilitate funtzio sortzailea honako modu honetan definitzen da:

Frogatu daiteke desagerpenerako probabilitatea ekuazio sinple baten bidez karakteriza daitekeela:

x = G(x),

G izanik populazioko indibiduoek hurrengo belaunaldi berrian sortutako banako kopurua deskribatzen duen zorizko aldagaia. Orduan, e desagerpenerako probabilitatea da ekuazio horren soluzio ez-negatibo txikiena [0,1] tartean. Intuitiboki, e puntu finko bat da: probabilitate bat hartzen dugu, eta G-k itzultzen digun emaitza berbera da.

Adarkatze-prozesuen bidez ulertzen da matematika probabilistikoa ezinbestekoa dela ziurgabetasunean pentsatzeko: banakoen jokabidea ausazkoa izan arren, funtzio sortzailearen bidez populazioari buruzko ondorio sendoak lortu daitezke; esate baterako, populazioa noiz desagertuko den azter daiteke. Horrela, matematika aurreikusteko makina baino gehiago da: galderak ondo egiteko eta errealitatea interpretatzeko tresna da. Artikulu honetan ikusitako kontzeptuek erakusten dute zein indartsua den eredu egoki batek ematen duen ikuspegia.

Egileaz:

Josu Doncel Matematikan doktorea da eta EHUko Matematika Saileko irakaslea.