Mekanika kuantikoko zenbaki irudikariak kendu dituzte
Mekanika kuantikoak azkenik lortu du bakarrik zenbaki errealak erabiliz formulatzea, eta etapa berri bat ireki du buruhauste matematiko zahar bat aztertzeko orduan, teoriaren mamian.
Duela mende bat, atomoek eta funtsezko partikulek portaera bitxia zuten, eta, ondorioz, fisikariek naturaren teoria berria sortu zuten. Mekanika kuantikoa berehala nagusitu zen, eta bere balioa erakutsi zuen hidrogenoak argia nola emititzen eta xurgatzen zuen oso zehazki kalkulatuz. Dena den, arazo bat zegoen: teoriaren ekuazio nagusiak i zenbaki irudikaria (-1en erro karratua) zuen.
Fisikariek bazekiten i eraikuntza matematikoa zela. Magnitude fisiko errealek, hala nola masak edo momentu linealak, ez dute inoiz balio negatiborik sortzen ber bi egiten denean. Hala eta guztiz ere, zenbaki “irreal” horrek (i² = −1), itxuraz, funtsezko tokia zuen mundu kuantikoan.
Zenbaki irudikariez betetako ekuazioa deribatu ondoren –mugimenduaren legea entitate kuantikoetarako–, Erwin Schrödinger itxaropentsu azaldu zen inoiz oso-osorik erreala zen bertsioak ordeztuko zuelakoan. («Zalantzarik gabe, nolabait zakarra da oraingo forma», idatzi zuen 1926an). Nahiz eta arbuiatu, i azaltzeari eutsi zitzaion, eta fisikarien ondorengo belaunaldiek ekuazioa erabili zuten gehiegi kezkatu gabe.
2021ean, berriz ere erreparatu zitzaion zenbaki irudikariek teoria kuantikoan zuten eginkizunari. Ikertzaileen talde batek metodo bat proposatu zuen enpirikoki zehazteko i benetan funtsezkoa ote den teoria kuantikoan edo erosotasun matematiko bat baino ez. Bi taldek halabeharrezko esperimentu konplexuak egin zituzten, eta, itxuraz, froga erabakigarriak aurkitu zituzten teoria kuantikoak i behar izateari buruz.
Iaz, ordea, zenbait artikulu zientifikok zalantzan jarri zuten ondorio hura.
Martxoan, Alemanian egoitza zuen teorikoen talde batek 2021eko azterlanen aurka egin zuen, eta beren-beregi zenbaki errealetan oinarritutako teoria kuantikoaren bertsio bat proposatu zuen, bertsio estandarrarekiko baliokidea zehatz-mehatz. Geroago, bi teorikok teoria kuantikoaren formulazio propioa aurkeztu zuten Frantzian balio errealekin. Irailean, beste ikertzaile bat emaitza berera iritsi zen konputazio kuantikoaren arlotik: i ez da zorrozki halabeharrezkoa errealitate kuantikoa deskribatzeko.
Nahiz eta teoria horiek saihesten duten zenbaki irudikaria berez erabiltzea, haren aritmetikako berezko ezaugarriei eusten diete. Aurrekoaren harira, zenbait ikertzailek bere buruari galdetzen diote mekanika kuantikoaren –edo errealitatearen beraren– alderdi irudikaria benetan desagertu ote den.
Rutgerseko Unibertsitateko fisikako filosofa den Jill Northek azaldutakoaren bidetik, «matematikaren formulazioak gidatzen du mundu fisikoaren naturari buruz ondorioztatzen duguna».
Ezinezko balioak
1637an, Amsterdamen, tulipen oparotasuna gailurrean zegoenean, René Descartesek ekuazioak ebatzi nahi izan zituen eta, itxuraz, soluzioek ezinezko balioak zituzten. Adibide gisa hartu zuen x3 – 6x2 + 13x – 10 = 0 ekuazio kubikoa. Descartesek ikusi zuen soluzioak «ez direla beti errealak; zenbaitetan irudikariak baino ez direla… Batzuetan, ez dago norberak irudikatzen duen kopuruarekin bat datorrenik». Halakoetan, soluzioak 2, 2 − i eta 2 + i dira. Azkeneko zenbaki horiei, zati erreal eta irudikariarekin, zenbaki konplexuak esan zitzaien.
Descartesek gaitzetsi arren, zenbaki konplexuak egokitu ziren, besteak beste, honako jakintzagai hauetan zuten erabilgarritasun handiak bultzatuta: geometria, optika edo seinaleen analisia.
Schrödingerren gogoz kontra onetsi zuen praktikoak zirela teoria kuantikoan. Bere ekuazioak deskribatzen du uhinaren funtzioa nola bilakatzen den, sistema baten balizko egoera kuantikoak azaltzen dituen entitate bat, eta interferi dezaketenak uhinek egiten duten bezala. Neurketa fisiko guztiek balio errealak izan arren, uhinaren funtzioa balio konplexuen funtzio bat da. «Teoria kuantikoa egiaz lehenengo teoria fisikoa da zeinetan zenbaki konplexuak erdian kokatzen diren», aipatu du Bill Wootters fisikariak.
Zenbaki konplexuak plano bateko puntu gisa irudika daitezke, bai eta bektore gisa ere jatorritik posizio baterantz (a, b). i zenbakiaz biderkatzea bektore hori 90 gradu biratzea da. Propietate horiek naturaltasunez datoz bat estatu kuantikoen portaera ondulatorio eta bektorialarekin.
Denboraren joanean, zenbait fisikari teoria birformulatzen saiatu ziren bakarrik zenbaki errealak erabilita. 1960an, Ernst Stueckelbergek balio errealen mekanika kuantikoa garatu zuen zeina plano konplexuaren biraketak imitatzen zituen trikimailu matematikoen bidez. Dena den, formulazio konplexua trinkoa zen horretan, formulazio erreala neketsua zen. Adibidez, bi partikulen uhin funtzioa deskribatzeko, lau zenbaki konplexu behar dira, baina Stueckelbergen formulazioak hamasei zenbaki erreal behar ditu.
Hala ere, 2008. eta 2009. urteetan, bi taldek frogatu zuten teoria horiek Bellen testaren emaitza estandarrak erreproduzi zezaketela, hain zuzen ere, funtsezko froga teoria kuantikorako. «Gauza askotarako, balio errealetako teoriak funtzionatzen du», azaldu du Woottersek. Baina galdera bat erantzunik gabe gelditzen zen: betirako funtzionatuko zuen?
Oinarrizko ustezkoak
2021ean, Nicolas Gisin eta bere taldeak balio errealen teoriaren mugak neurtzeko modua asmatu zuten eta, horretarako, Bellen testa baino landuagoa zen bertsioa erabili zuten. Test hedatu horretan, bi partikula iturri zeuden elkar lotuta eta hiru partaide ere bai: Alice, Bob eta Charlie. Beren kalkuluek erakutsi zuten bakarrik zenbaki errealetan oinarritutako teoria baterako neurketen arteko gehieneko korrelazioa teoria kuantiko konplexuetan baino baxuagoa zela. Hortaz, froga enpiriko bat gai zen behin betiko baztertzeko teoria errealak.
Txinako Zientzia eta Teknologiako Unibertsitateko talde batek esperimentua gauzatu zuen, eta muga errealarekiko askoz korrelazio gehiago aurkitu zituen. Bazirudien zenbaki konplexuak ezinbestekoak zirela.
Baina emaitzak ez zituen guztiak konbentzitu.
Zenbait fisikariren esanetan, zenbaki konplexuak zenbaki errealen pareak baino ez dira, baina konbinazio arau bereziekin. Zergatik ez da posible mekanika kuantikoa deskribatzea bakarrik zenbaki errealak erabiliz?
Talde frantsesak eta alemaniarrak, gainera, zalantzan jarri zuten 2021eko artikuluko oinarrizko ustezko bat: teoria erreal batek teoria konplexuaren produktu tentsorial bera erabili behar zuela. Beren esanetan, produktu tentsoriala bektoreen konbinazioaren arau familia zabalagoaren kasu berezia baino ez da. Espazio konkortuetan, adibidez, hipotenusa kalkulatzeko laukien batura dagoeneko ez da betetzen. Modu berean, zenbait produktu tentsorial teoria errealetan aplika daitezke. Arau berri horiek erabiliz, bi taldeek balio errealen teoriak eraiki dituzte, eta erabat baliokideak dira teoria kuantiko estandarrarekin.
Aldi berean, Googleko konputazio kuantikoko aditua den Craig Gidneyk frogatu zuen edozein algoritmo kuantiko T ate logikora jo gabe idatz daitekeela. Hark biraketak sartzen ditu plano konplexuan. Zenbakizko emaitzak erakutsi zuen konputazio kuantikoak ez duela zenbaki konplexurik behar.
Zergatik dira horren naturalak konplexuak?
Balio errealen teorien bideragarritasunak galdera sakon bat planteatzen du: i bazter badezakegu, zergatik den formulazio konplexua horren erraza eta dotorea? Schrödingerrek dagoeneko antzeman zuen duela mende bat: uhin funtzio konplexuekin lan egiteak asko errazten ditu kalkuluak.
Fisikari askorentzat, ez da ustekabea. Teoria kuantiko konplexua, bere produktu tentsorial naturala barne, aukera errealak baino zehatzagoa eta zuzenagoa da oraindik. Teoria beren-beregi zenbaki errealekin berriz idazten denean ere, barne egiturak zenbaki konplexuen aritmetika islatzen jarraitzen du. Woottersek azaldutakoaren ildotik: «bertsio errealean ere, aritmetika konplexuaren aztarna ikusten da».
Teoria errealen defendatzaileek bertan onesten dute, funtsean, zenbaki konplexuen portaera imitatzen duela, bereziki, biraketak sortzeko haiek duten gaitasuna. «Zenbaki konplexuak zenbaki errealen bidez simulatzen ditugu», aitortzen du Düsseldorfeko Heinrich Heine Unibertsitateko fisikaria den eta beste egile batzuekin batera artikulu alemaniarra idatzi duen Anton Trushechkinek.
Jill North filosofoaren ustez, dirudienez, zenbaki konplexuak naturalki sartzen dira egitura kuantikoan. Helburua da identifikatzea zer ezaugarri sakonki kuantikoek –agian, spina, parekotasun klasikorik gabeko propietate bat– eragiten duten formulazio hori horren egokia izatea.
Beste batzuk kezkatuta daude oraindik ere zenbaki konplexuak ezkutuan azaltzen direlako teoria errealetan. Oxfordeko Unibertsitateko Vlatko Vedralen iritziz, horrek iradoki du funtsak hor dirauela eta itxurazko desagertze hori gehiegizkoa izan daitekeela. Bere nahia litzateke axioma sinpleagoak eta intuitiboagoak aurkitzea teoria kuantikoa zerotik berreraikitzeko abiapuntua erabat berria izanik.
«Duela ehun urte planteatu zeneko mekanika kuantikoaz ez dugu alternatibarik», hausnartu du Vedralak. «Eta hona hemen galdera: zergatik? Zergatik ezin gaitezke urrunago joan?».
Jatorrizko artikulua:
Daniel Garisto (2025). Physicists Take the Imaginary Numbers Out of Quantum Mechanics, Quanta Magazine, 2025eko azaroaren 17a. Quanta Magazine aldizkariaren baimenarekin berrinprimatua.