Dozena erdi ariketa 2026ko udarako: erantzunak
Zenbat zenbaki daude 1 eta 2026 artean, zeinen idazkerak bi zifra desberdin dituen eta bi bakarrik? Idazkera hamartar arruntaz ari gara, ez du balio ezkerrean zerorik jartzea. Adibidez, 113 zenbakiak bi zifra desberdin ditu, baina 222 zenbakiak, bat baino ez.
Norbaitek zerrenda osoa egin eta baldintza betetzen dutenak zenbatzeko pazientzia izan badu, erantzun zuzena lortuko zuen. Bada bide dotoreagorik, ordea.
- 10 eta 99 arteko zenbakietan, ab erakoak behar ditugu, a eta b desberdinak izanda. 9 aukera ditugu a-rako (ezin baita 0 izan) eta, a bakoitzerako 9 aukera b-rako. Hortaz, 81 zenbaki.
- 100 eta 999 artekoetan, abb, aab eta aba erakoak behar ditugu. Aurreko moduan, 81 zenbaki mota bakoitzekoak. Denetara, 243 zenbaki.
- 1000 eta 1999 artean, 111b, 11b1, 1b11, 11bb, 1bb1, 1b1b eta 1bbb erakoak izango dira. Bakoitzetik 9, denetara 63.
- 2000 eta 2026 artean lau zenbaki: 2000, 2002, 2020 eta 2022.
Horrenbestez, 391 dira baldintza betetzen duten zenbakiak.
Egin dezagun DC aldearen paraleloa A erpinetik.
Hiru zifra desberdineko zenbaki bat daukagu. Hiru zifra horiekin bi zifra desberdineko sei zenbaki idatz daitezke. Sei horien batura hasierako zenbakiaren berdina dela jakinda, zein zen hasierako hura?
Izan bedi abc hasierako zenbakia. Zifra horiekin ab, ba, ac, ca, bc eta cb zifra biko zenbakiak ditugu. Sei zenbaki hauen batura hau da:
(10 a + b) + (10 b + a) + (10 a + c) + (10 c + b) + (10 b + c) + (10 c + b) = 22 (a + b + c).
Ariketaren baldintza 100 a + 10 b + c = 22 (a + b + c) da, hots, 78 a = 12 b + 21 c.
Sinplifikatuz, 26 a = 4 b + 7 c.
Eskuin atala 100 baino txikiagoa denez, a-ren balio onargarriak 1, 2 eta 3 dira.
a = 1 bada, b = 3 eta c = 2 lortzen da; a = 2 bada, b = 6 eta c = 4; a = 3 bada, b = 9 eta c = 6. Beraz, 132, 264 eta 396 dira hasierako zenbakiaren balio posibleak.
Karratu bati lau triangelu kendu dizkiogu erpinetan, oktogono erregular bat lortzeko. Karratuaren aldearen luzera 1 bada, zein da oktogonoaren aldearen luzera?
Xake taula arrunt bat dugu, 8 x 8 tamainakoa, alegia. Beheko ezkerreko laukian erregea dago kokatuta. Zenbat modutan hel daiteke goiko ezkerreko laukira zehazki zazpi mugimendu eginda? Gogoan izan erregea horizontalean, bertikalean edo diagonalean mugi daitekeela, baina bakarrik lauki bat aurreratuz mugimendu bakoitzean.
Xakean erabiltzen den notazioarekin (letrak zutabeetan eta zenbakiak errenkadetan), a1 laukitik a8 laukira eroan behar dugu erregea, zazpi mugimendutan. Bistan da mugimendu bakoitzean errenkada bat gorago jarri behar dela erregea derrigorrean.
Lehen mugimenduan a2 edo b2 laukira helduko gara, eta bakoitzera heltzeko modu bakarra dago. Hurrengoan, a3, b3 edo c3 dira helburu posibleak, lehen bietara a2-tikedo b2-tik abiatuta, hirugarrenera, bakarrik b2-tik abiatuta. Irudian ikusten dugu zenbat modu dauden lauki bakoitzera heltzeko, beti kontuan izanda mugimendu bakoitzean errenkada bat gorago goazela.
Helburua a8 denez, ez ditugu lauki posible guztiak bete. Esate baterako, 4d laukitik 5e laukira joan gaitezke, baina hurrengo hiru mugimenduetan ezinezkoa izango litzateke a8-ra heltzea.
Ariketaren galderaren erantzuna 127 da.
Beheko ezkerreko laukian x jartzen badugu, hau daukagu:
4 (10 a + c) x = 24 c x, hau da, 40 a + 4 c = 24 c, edo 2 a = c.
a = 2 bada, 24 · 24 · y = 2b4d izan behar da, eta bakarrik y = 4 edo 5 hartuta da biderkaduraren lehen zifra 2. Hala ere, hirugarren zifra ez da 4. Era berean, a = 3 edo 4 izanda, ez dago soluziorik.
4 · y · z = 24 · 12 a · y, hau da, z = 72 a.
Erdiko zutabeko elementuen biderkadura 72 a · 12 a · 2 a = 1728 a3 da, eta zenbaki hori lau zifrakoa izateko a = 1 da derrigorrean. Horrekin berehala betetzen da karratua.
Egileaz:
Javier Duoandikoetxea Analisi Matematikoko Katedradun erretiratua da EHUn.