Dozena erdi ariketa 2017ko udarako: erantzunak

Javier Duoandikoetxea

Aurtengo seigarren ariketarako ez dugu erantzunik jaso. Beste guztietan erantzun zuzenak heldu dira, baita okerren bat ere. Bosgarren ariketari Andonik eman dion erantzuna kenduta, besteetan inork ez digu azaldu zein izan den emaitzara heltzeko bidea.
  1. Lau zifrako zenbaki bati bere zifren batura gehituta 2017 lortzen da. Zeintzuk dira propietate hori duten zenbakiak? Zifren batura gehitu beharrean, kenduz gero, bada soluziorik?

Mikelek eta @amorroik erantzun zuzen bana lortu zuten. Hona erantzun osoa:

Zenbakia abcd bada,

(1000a+100b+10c+d)+(a+b+c+d)=2017

eskatzen ari gara. Bistan da a=1 eta b=9, edo a=2 eta b=0 beharrezkoak direla.

  • a=1 eta b=9 hartuta, 1001+909+11c+2d=2017 dugu, hau da, 11c+2d=107. Honek c=9 eta d=4 soluzioa ematen du, hots, 1994.
  • a=2 eta b=0 hartuta, 2002+11c+2d=2017 dugu, hau da, 11c+2d=15. Hemendik, c=1 eta d=2 ateratzen da, hots, 2012.

Zifren batura kenduz gero, ez dago soluziorik:

(1000a+100b+10c+d)-(a+b+c+d)=2017

behar dugu orain. Hori lortzeko, a=2 eta b=0 beharko dugu. Orduan, 1998+2c=2017 lortu behar da, eta hori ezinezkoa da.

———————————-

  1. Aurpegi bakoitzean zenbaki bat idatzita duten lau fitxa ditugu. Denetara 1etik 8rainoko zenbaki guztiak daude idatzita. Fitxak behin bota eta 6, 1, 4 eta 3 zenbakiak agertu dira; bigarrenean, 1, 3, 5 eta 7; hirugarrenean, 3, 7, 2 eta 6. Zein da jaurtialdi batean agertzen diren zenbakiak batuz lor daitekeen baliorik handiena?

Lau erantzun zuzen izan ditu ariketak: Amorroik, Andonik, Manexek eta Koldok emandakoak.

Lehen jaurtialdi biek 1-2 eta 3-8 edo 1-8 eta 3-2 aukerak bakarrik uzten dituzte. Hirugarrenak erakusten du 3-2 ezinezkoa dela. Beraz, 1-2 eta 3-8 fitxak ditugu. Era berean, 5-6 eta 4-7 dira beste fitxak. Baturarik handiena 2+6+7+8=23 da.

———————————-

  1. Anartzek 10 saskibaloi partida jokatu ditu. 6.etik 9.era hauek izan dira lortu dituen puntuak: 23, 14, 11 eta 20. Bederatzigarren partidaren ostean, Anartzen partidako batez besteko puntu-kopurua handiagoa da bosgarren partidaren ostean baino. Hamargarren partidaren ostean, batezbesteko hori 18 puntukoa da. Zenbat puntu egin ditu gutxienez azken partidan?

Erantzun zuzenaz gain, aholkua ere eskaini zion Koldok Anartzi.

Seigarren partidatik bederatzigarrenera 17 puntukoa da Anartzen batezbestekoa. Lehen bost partidetakoa 17 baino txikiagoa izan behar denez, gehienez 84 puntu egin ditu Anartzek bost partida horietan denetara. Hamar partidatan 180 puntu egin dituenez, azken partidan gutxienez 28 puntu sartu ditu.

———————————-

  1. Olatz laukizuzen forma duen lorategi batean dago jarrita. Dagoen lekutik erpinetara dauden distantziak 6, 9, 7 eta d metro dira. Zenbat da d?

Honetan ere fin ibili zen Koldo. Hona azalpena:

Pitagorasen teorema erabiliz,

?² + ?² = 7² , ?² + ?² = 9² , ?² + ?² = 6², ?² + ?² = ?²

Lehenengoaren eta hirugarrenaren baturari bigarrena kenduz gero,

?² + ?² = 7² + 6² − 9² = 4

lortzen da. Beraz, d=2 da.

———————————-

  1. Naiarak 15 km egin ditu bizikletan 51 minututan. Geroz eta arinago ibili da eta kilometro bakoitza egiteko aurrekoa baino 5 segundu gutxiago eman ditu. Zenbat denbora behar izan du azken kilometroa egiteko?

Jarraitutako bidea azaldu zigun Andonik emaitza zuzenarekin batera. Koldok ere zuzen.

Azken kilometroa egiteko t segundu eman baditu, azken aurrekoa t+5 segundutan egin du, hamahirugarrena t+10 segundutan, eta horrela. Lehenengoa egiteko t+70 segundu behar izan ditu. Orduan,

? + (? + 5) +( ? + 10) + ⋯+ (? + 70) = 51×60 = 3060

Hemendik, 15t+525=3060, eta t=169 segundu. Azken kilometroa 2 minutu eta 49 segundutan egin du.

Andoniren ebazpidea desberdina da, oso dotorea.

———————————-

  1. Zenbat modutan jar daitezke 1etik 7rainoko zenbakiak irudiko zirkuluetan, triangelu gorrien erpinetako zenbakien baturak berdinak izan daitezen?

Erantzunik izan ez duen ariketa bakarra da hau, hona emaitza eta azalpena:

Kanpoko zenbakien batura 3ren multiploa izango da, eta 1etik 7rainoko zenbakien batura 28 da. Beraz, erdiko zenbakia 1, 4 edo 7 da ezinbestean.

Demagun erdikoa 1 dela. Kanpoan 2-7, 3‐6 eta 4-5 bikoteak joango dira. 2 zenbakia kokatzeko sei aukera daude. Horietako bakoitzak 7 zenbakia finkatzen du. 3 zenbakia kokatzeko lau aukera geratzen dira eta horiek 6 zenbakia finkatzen digute. Azkenik, 4 zenbakia kokatzeko bi aukera ditugu eta horiek 5 zenbakia finkatzen dute. Denetara, 1 erdian egonda 6×4×2 = 48 modutan jar daitezke zenbakiak.

Era berean, 4 edo 7 ipiniz gero, 48 modu ditugu eskatutako baldintza betetzeko. Hortaz, 3×48 = 144 modutan jar daitezke zenbakiak eskatutako baldintza betetzeko.

——————————————-
Egileaz: Javier Duoandikoetxea Analisi Matematikoko Katedraduna da UPV/EHUn.

——————————————-

Eman iritzia

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>